Научная конференция учащихся специализированных школ-интернатов

Квант 1974, №9 с. 62, 63, 65 Тег M4GC

Научная конференция учащихся специализированных школ-интерновов

Второй год подряд учащся Тбилисской средней физико-математической школь-intерната им. В. М. Комарова во время весенних каникул проводят научную конференцию. В этом году в гости к тбилисским школьникам приехали учащся средней школь № 7 г. Батуми, Ереванской физико-математической школь-intерната, специализированной школь-intерната физико-математического професляя г. Киева, физико-математической школь-intерната № 18 г. Москвы, физико-математической школь-intерната № 165 г. Новосибирска и средней школь № 52 г. Ригги. В работе конференции также принимали участие учащся нескольких школь г. Тбилиси. По существу, это был слет учащихся физико-математических школ-интерновов.

Торжественное открытие конференции проходило 26 марта в помещении Вычислительной центра Академии наук Грузинской СССР. В этот же день начали работать секции математики и физики. Школьники заслушали ряд докладов по математике и физике. С 26 по 30 марта шла направленная работа конференции.

Matematika
Хотя большинство докладов носило реферативный характер, они с большим интересом были выслушены участниками конференции. Отметим неоктоды из этих докладов.

К. Татишвили (Тбилиси, 9 кл.) рассказала о выдающем грузинском ученом, одном из основателей Тбилисского государственного университета, замечательном математике и патриоте своей страны Андреe Михайловице Размадзе (1890—1929) создавшем современную грузинскую математическую шкoly.

Е. Бекая (Батуми, 10 кл.) рассказала о жизни Великого русского математика Пафнутья Львовича Чебышева (1821—1894) и о решении им следующей задачи: найти многочлен $T(n)$ п-й степени с коэффициентом 1 при старшем члене, который менее всего уklоняется от нуля на отрезке $[1, -1]$ , то есть такой многочлен $p(x)$ , для которого $|p(x)|$ наименьшее по сравнению со $|x| \leq 1$

всеми остальных многочленами той же степени с коэффициентом 1 при старшем члене. Эти многочлены имеют вид

$T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n \arccos x).$

Тепер он называют полиномами Чебышева. Чтобы выписать их в явном виде, можно воспользоваться формулой

$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$

и первыми двумя полиномами Чебышева:

$T_1(x) = x, T_2(x) = 2x^2 - 1.$

Попробуйте доказать формулу (2), исходя из формулы (1).

Доклад Г. Тода (Тбилиси, 9 кл.), был посвящен построением циркулем и линейкой, а также решению задачи об «удвоении куба» с помощью специальных приборами, придуманных Платоном, Менехом, Эратофеном и других учеными древности.

М. Торонд жадзе (Тбилиси, 9 кл.) рассказала о кривых Пеано (этот доклад был помещен в «Кваните», 1974, № 8).

В докладе М. Драчинского (Тбилиси, 10 кл.) было рассказано о методах интегрирования. Интегрирование — это оценка значения функций в некоторой точке, если известны значения этой функции в нескольких ( $n$ ) точках.

Искомое значение принимается равным значению в той же точке многочлена (многочлена Лагранжа), который в данной $n$ точках принимает те же значения, что и рассматриваемая функция. Dokладчик рассказал о многочлене Лагранжа и об интерполяционном многочлене Ньютона, совпадает с многочленом Лагранжа, но строится (по конечным разностям) гориздо быстрее.

В докладе А. Тимошина (Ригга, 9 кл.) «Некоторые способы доказательства неравенства» был доказан неравенство Коши

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

(все $x_i \geq 0$ ) и неравенство Бернулли

$1 + a^n > 1 + na$

( $a \neq 0, a > -1, n \geq 2$ ).

Комментария этот доклад, руководитель секции предложил школьникам решить

следующие задачи. Возьмем окружность диаметра 1. Впишем в нее правильный п-уольник — обозначим его перimetр через $p_n$ — и опишем правильный п-уольник — перimetра $q_n$ . Число п находится на цисловой оси между точками $p_n$ и $q_n$ . Разобъем отрезок $[p_n, q_n]$ на при равные части. В какой из них находится число п? Аналогичная задача смещения для числа e (основания намуральных логарифмов) и разделенного на цемпре части отрезка $\left[1 + \frac{1}{n}\right)^n + 1$ .

Нанбольший интерес у присутствующих вызываний доклады с изложением результатов, полученных школьниками самостояльно. Таким был доклад А. Давыдов (Москва, 10 кл.) «Проблема ближайда». Представьте себе некоторую область на плоскости (например, круг) и шарик, катаошися внутри этой области и абсолотно упруго отскакивающий от ее границ (тогда выполяется закон «угол падения равен углу отражения», то есть шарик отражается от стенок так же, как луч света). Какими будут траектории движения шарика? Эту проблему и рассматривал Алексей в своей докладе. Это действительное проблема, потому что даже для области, имеющих форму треугольника, исследованы лишь три случая (треугольники с углами 90°, 45°, 45°; 90°, 60°, 30°; 60°, 60°, 60° — в этих случаях получаются «правильные калейдоскопы»; см. «Квант», 1972, № 8).

Попробуйте, например, доказать, что в круге могут быть траектории двух типов:

a) правильные, возможно, звездчатые (самопересекающие) многоугольники;

линни, плотно заполняющие внутренность колца, образованного границей кругга и концентрической с него окружности.

Алексей самостояльно исследовал биллиард в треугольнике с углами 90°, 22,5° и 67,5°, а также показал, что изучение простейшей механической системы — двух шарков масс $m_1$ и $m_2$ в лотке, упруго отскакивающих от стенок лотка и друг от друга («одномерный газ из двух молекул»),— свидетельяк исследований биллиард в прямогольном треугольнике с катетами $\sqrt{m_1}$ и $\sqrt{m_2}$ .

М. Гедалин (Тбилиси, 8 кл.) прочитал доклад «Об одном минимальном свойства треугольника». В этом докладе были приведены два доказательства следующего факта: среди всех треугольников, вписанных в данной остроугольный треугольник, наиболее периметр имеет треугольник, вершина которого является основания высот данного треугольника.

В. Харланов (Киев, 10 кл.) прочитал доклад «Некоторые задачи о деревьях в теории графов». Дерево — это связный граф без циклов (замкнутых цепей) и петель(o графах в нашем журнале уже расссказываось — см. «Квант», 1973, № 8, с. 55). Владимир доказал несколько теорем, например: в дереве каждые две вершины соединяемых писью одна цепь, количество деревьев, построенных на п вершинах, равно $n^{n-2}$ и другие, а затем поставил несколько задач. Попробуйте, например, определять,

сколько деревьев с m ребрами можно построить на n вершинах;
сколько графов без циклов с m ребрами можно построить на n вершинах.

Доклад В. Федоров (Москва, 8 кл.) «Системы счетных множества» был посвящен, в основном, решению следующих трех задач: существует ли несетное множество А подмножества счетного множества Q макое, что

Для всяких $x$ , $y \in A$ множество $x \cap y$ конечно, если $x \neq y$ ?
Для всяких $x$ , $y \in A$ множество $x \Delta y$ конечно ( $x \Delta y = (x \cup y) \setminus (x \cap y)$ ?
Для всяких $x$ , $y \in A$ множество $x \subset y$ макое $y \subset x$ ?

А. Воронов (Новосибирск, 10 кл.) в докладе «Некоторые сведения о факторialных колцах» описал алгоритм разложения многочленна над колцом целых чисел на непроведимые многочленены. Руководитель секции доклад поправился, а школьники почтки ничего не поняли, что не удивительно — для понимания этого доклада требуется знание основы алгебры.

To же самое можно сказать о докладе А. И вновь а (Москва, 10 кл.) «О разложении полинома $x^3 + y^3 + z^3$ в колце, удовлетворяющем условию эквивалентности и левой и правой обратности».

На сфере нет подобных треугольников. Доказательство этого факта было основным в докладе Л. Сегеда (Москва, 10 кл.) «Некоторые задачи сферической геометрии». Люда привела также решения нескольких задач, например: сколько непересекающих дуge (большого круга) по 300° каждая мощное без пересечения размешиться на сфере? А по 299° каждая? Попробуйте доказать, что ответ таков: в первом случае 2, во втором — 3.

Физика

Доклады по физике отличались большим разнообразием как по существу рассматриваемых вопросов, так и по форме проделанной работы.

Темы работы, о которых расссказывали участники конференции, выходит далеко за рамки школьного курса физики. Только середина теоретическая подготовка, помощь научных руководителей (ими, как правило, были научные сотрудники университетов и научно-исследовательских физических институтов), возможность участков в проведении экспериментов в научных laboratories и, конечно, огромный интерес к физике позволили ребятам добиться успехов.

С. Грехов сделал автоматическое устройство для подачи линиц. Это позволит управить работу с прибором и, что очень важно практически, существенно уменшить время лечения.

Интересным было сообщение П. И ванов а (Новосибирск, 10 кл.) «Перестраиваемые лазеры на организациях красительях», в котором расссказывалось о конструкции жидкостного лазера с плавной перестройкой частоты, созданного группой учащихся в лаборатории Новосибирского института ядерной физики.

В лаборатории технических измерений научно-технического общества учащихся г. Кнева уже много лет ведется понковая работа по созданию электриных приборов, которые могут быть использованы в школьном физическом эксперименте. В докладах В. Коваля и П. Мовчан а (Кнев, 10 кл.) было расссказано о созданных в лаборатории стабилизаторах тока и напряжения, высококачественного успешного электрических сигналов, генератора стабильных сигналов и т.п.

В. Драчев (Новосибирск, 9 кл.) в докладе «Фотокамера «Рыбий глаз» расссказал о сделанном им приборе для получения фотографии с углом обзора, близким к 180°.

Не надо думать, что на конференции школьники с утра до вечера служили или читали доклады. Хозяева организационных для гостей очень интересные экспертсции по Тбилиси и по его окрестностям — в Джвари, Мцхету и Сагурами, а также в дом-музей И. Г. Чавчавадзе.

29 марта была проведена встреча участников конференции с редакцией нашего журнала. Перед школьниками выступил заместитель главного редактора М. Л. Смолянский. Он расссказал о работе редакции, о планах журнала на 1974—1975 гг. Школьники приняли самое активное участие во встрече. Они высказывали свое мнение о журнале, об отдельных статях, говорили о том, какие разделы математики и физики их особенно интересуют. Затем сотрудники редакции ответили на многочисленные вопросы школьников.

Утром 30 марта проведена занятие «блицополимпада» по математике. Вот несколько задач, предложенных на этом соревновании.

Циферблат часов разделите двумя лицами на три часы так, чтобы суммы чисел в каждой часы были одинаковы.
Что больше: ел или ъе?
Можно ли пятью бронзовыми монетами (no 1, 3 и 5 копеек) отчислять сумму в 16 копеек?
В ящике лежит 70 шаров: 20 красных, 20 желтых, 20 зеленых и 10 черных. Сколько надо вычитать шаров из ящика (в темном!), чтобы однозвечным шаров оказалось не менее 10?

Торжественное закрытие конференции состоялось днем 30 марта. Гости телло по благодарили хозяйства за гостириством, а хозяйва пригласили всех присутствующих на следующую конференции.

По итогам конференции отделные школьники были нагружены дипломами и грамотами.

Грамоты ЦК комсомола Грузин получили: Николай Альмацевил (Тбилиси), Алексадр Бударин (Ереван), Алексадр Воронов (Новосибирск), Алексед Давидов (Москва), Владимир Драчев (Новосибирск), Марк Драчинский (Тбилиси), Виктор Зубко (Киев), Анатолий Иванов (Москва), Павел Иванов (Новосибирск), Виктор Имкин (Рига), Майя Миминовил (Тбилиси), Вахтане Пхакадзе (Тбилиси), Владимир Санадзе (Тбилиси), Андрей Сергеев (Москва), Леван Сургуладзе (Тбилиси), Медея Торонджадзе (Тбилиси) и Самсон Штамашил (Тбилиси).

Ряд примей присуждения нашей журнала.

Памятные номера журнала с авторфамами получили: Елена Бекая (Батуми), Алексадр Бударин (Ереван), Владимир Ковал (Киев) и Владимир Харланов (Киев).

Годовой подпись на 1975 год были нагружены: Майя Миминовил, Марина Санкидзе, Алексадр Тимошин и Медея Торонджадзе. Кроме того, некоторые наиболее интересные доклады будут опубликованы на страницах журнала (так, доклад Медея Торонджадзе уже опубликован).

Что же сказаать в заключение?

Наш журнал уже писал о следующих школе с физко-mатематическим уклоном (см. «Квант», 1972, №№ 2, 5). Эти слеты проводятся регулярно с 1971 года. Отрадно, что теперь и учащиеся физко-mатематических школь-интернатов организовали свои научные конференции, которые проходят очень интересно и содержательно.

Мы уверены, что в недалеком будущеем конференции физко-mатематических школь-интернатов завоют против авторитет и будут проводиться не только в Тбилиси, но и, скажем, в Новосибирске, Пире и других городах нашей страны. Мы желаем им новых успехов.

А. Н. Виленкин, В. А. Тихомирова