Манёвры

19

(где $|b_n| = 1$), чтобы ряд $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots$ сходился к $S$.

Переставляем только отрицательные члены. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ условно сходится.

Разрешим переставлять между собой только отрицательные члены $a_n$ (оставляя все положительные члены $a_n$ на их первоначальных местах).

Уражнение 21

a) Может ли при указанных перестановках ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ стать расходящимся?

b) Всегда ли можно с помощью таких перестановок сделать его сходящимся к произвольной заданной сумме $S$?

b) К каким суммам можно заведomo статьить его сходиться такими перестановками?

Комплексный вариант теоремы Римана. До схормы считали члены ряда $a_n$ произвольными действительными числами. Разрешим им теперь принять любые комплисные значения.

Уражнения

22. Пусть ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ ($a_n$ — комплисные) сходится к сумме $Z_1$, и пусть его члены можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к сумме $Z_2$. Возьмем на прямой, проходящий через $Z_1$ и $Z_2$, произвольное $Z$. Доказите, что можно так переставить члены ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, чтобы сумма полученного ряда оказалась равной $Z$.

23. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — произвольный сходящийся ряд из комплисных чисел. Расмотрим всевозможные сходящиеся ряды, получащиеся из него перестановкой членов $a_n$, и отметим на комплисной плоскости все числа $Z$, которые служат суммами расматриваемых рядов. Доказите, что возможно только три случая:

a) отмещенной окажется одна единственная точка $Z$,

b) отмещенными окажется все точки неекоторой прямой,

b) отмещены будут все числа $Z$ (то есть все точки комплисной плоскости).

Маневры

So станции $K$ на путь 5 (см. рисунок) приближемый локотив $J$ с вагонами $C$ и $D$. На пути 2 и 3 стоит порожные вагоны $A$ и $B$. Требуется с помощью локотива $J$ поставить вагон $C$ на путь 2, вагон $D$ — на путь 3, а вагоны $A$ и $B$ во главе с локотивом поставить на путь 5 для отправления на станцию $K$.

При маневрах вагоны можно прицелять к локотиву с любой стороны. Вместимость пути 1—5 не ограничена, а в тупики 1—111 помещается только один вагон или локотив. За какое наименьшее число операций можно произвести требуемые маневры? Операцией мы будем считать перестановку одного или нескольких вагонов с одного пути (тупика) на другой путь (тупик). Холодые рейсы локотива операцией не считаются.

И. В. Грессерман