Об одной задаче

69

Ира Попова
Об одной задаче

Я расскажу об одной задаче, которую я придумала. Вот она: доказать, что число $4^{2m} - 1$ при натуральных m делится на 15. Придумала я ее так.

В 1973 году, я тогда училсь в 7-м классе, на облacтоной олимпиде была предложена следующая задача: доказать, что число $4^{1973} - 1$ составное. Я ее так решила:

$$4^{1973} - 1 = (2^{1973})^2 - 1 = (2^{1973} + 1) \times (2^{1973} - 1),$$

следовательно, $4^{1973} - 1$ делится на $(2^{1973} \pm 1)$. Еще можно заметить, что

$$4^1 - 1 = 3 \text{ делится на } 3,$$
$$4^2 - 1 = 15 \text{ делится на } 3$$

и так далее, я проверила до 14-й степени, получавшиеся числа всегда делились на 3. Но доказать утверждение, что $4^n - 1$ делится на 3 при натуральных n, я тогда не смогла. Потом я его все же доказала:

$$4^n - 1 = 4^n - 4 + 3 = 4(4^{n-1} - 1) + 3 = 4[4(4^{n-2} - 1) + 3] + 3 = 4^2(4^{n-2} - 1) + 3.4 + 3 = 4^2(4^{n-2} - 1) + 3(4 + 1) = \dots = 4^n(4^{n-n} - 1) + 3(4^{n-1} + 4^{n-2} + \dots + 4^2 + 4 + 1) = 3(4^{n-1} + 4^{n-2} + 4^{n-3} + \dots + 4^{n-n}).$$

Таким способом можно доказать много интересных утверждений, например: если показатель степени n делится на какое-нибудь число m, то, кроме делителя 3, число $4^1 - 1$ имеет еще делитель $4^m - 1$. Наверное, это можно доказать проще с помощью метода математической индукции, но у меня ничего не получилось.

А теперь — решение задачи: доказать, что число $4^{2m} - 1$ при натуральных m делится на 15.

Решение. Число 4 в четной степени оканичивается цифрой 6, значит, $4^{2m} - 1$ оканичивается цифрой 5, и, следовательно, делится на 5.

Но число $4^n - 1$ делится и на 3 — это я уже доказала. Поэтому, если n = 2m, то $4^n - 1$ делится одновременно и на 3, и на 5, то есть на 15.