Умеете ли вы считать?

11

Умеете ли вы считать?

В. В. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием и распространяемым вычислительным техникки. Электронные вычислительные машины, настольные, карманные и прочие счетные устройства позволяют значительно сократить время всевозможных расчетов. И порой от школьников можно услышать, что «уметь считать» сейчас вообще не нужно. Но как это ни парадоксально, наиболее эффективную помощь техника оказывает именно тому, кто имеет грамотно вычислить.

Мы попробуем показать читатель трудности, возникающие при практиче-

Озадачивающие примеры

Пример 1. При вычислении на настоящий вычислительной машинке выражения $x=1/3\cdot 3/5\cdot 5/7\cdot 7/8\cdot 8$ с точностью до двух цифр после запятой вместе ожидаемой единицей получается $x=0,88$. Если же вычисляется $1/8\cdot 8/7 \times 7/5\cdot 5/3\cdot 3$, то получится 0,90.

Пример 2. При сложении на ЭВМ чисел $1+1/2+1/3+1/4+\ldots+1/250\ 000$ с пятую знаками после запятой слева направо получается 12,88777, а справа налево получается 12,95821; мы видим, что разница в ответах больше, чем каждое из большинства слагаемых.

Пример 3. Приближенное значение $\sqrt{290}$ равно 17,029 (ошибка меньше 0,0004). При вычислении дроби $1/(\sqrt{290}-17)$ с третья цифрами после запятой получается 34,483. Однако если дробь преобразовать к виду $\sqrt{290}+17$, то результат сложения будет 34,029, с ошибкой меньше 0,0004. Стало быть, ответ 34,483 городадо грубее.

12

Пример 4. Решением системы
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,503 \end{cases}$$

является пара чисел (2; 3). Если изменить число 25,503 всего на 0,003 —
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,5, \end{cases}$$

то решением будет пара (17; 0). Если же в исходной системе число 7,501 заменить на 7,499 —
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,499y=25,503, \end{cases}$$

то решением будет (32; — 3).

Подобные примеры могут смутить начинающего вычисления. Чтобы правильно ориентировать в положих ситациях, нужно знать:

1. какое бывают ошибки и откуда они берется,
2. как количество характераизовать ошибку,
3. как грамотно организовать вычисления.

Классфикация ошибок

Ошибки можно разделить на три типа*).

1. Ошибки, содержащие в исходной информации. Исходными данныхми во всякой задаче обычно служат либо часто встречающиеся конструкты, либо величины, полученные в результате измерения. Но любой измерительной прибор обладает какой-то определенной разрешаюшей способностью. Например, на торговых весах невозможно уловить разницу в 1 г, так что, уплатив за 100 г масла, вред ли стоит верить, что вы получитеровно 100 г, а не 101 г или 99 г. Ошибки измерений могут возникнуть также из-за неверного снятья показания прибора либо в результате грубого просмотр.

Исключая два последних источника ошибок, вызванных субъективными принципами, остается, тем не менее, принять тот факт, что ошибки в исходных данных неизбежны и обусловлены точностью измерительного прибора. Наконец манпуляции с исходными данных не позволяет гарантировать, что результат обладает большей точностью, чем данные. Утверждение вроде следующего: «площадь нарисованного на бумаге

*) О различных источников ошибок, возникших при обработке экспериментальных данных, и о том, что получается, если им пребегается, рассказываясь также в стате А. Н. Зайделя «Обман или заблудение?» («Квант», 1983, № 5, с. 24).

круга, радиус которого изменяется линейкой, равна 3206,9569 mm²», — по меньшей мере наивны.

2. Ошибки округления. Эти ошибки технологии со спецификой приближенногочета. Дело в том, что никакое вычислительное «средство», будь то ЭВМ или человек, не может производить арифметические операции с бесконечными последовательностями. Таким образом, все данные и промежуточные результаты должны быть записаны при помощи ограниченного набора цифр и, следовательно, как правило, неточны.

3. Ошибки ограничения. Очень многое вычисления описываются как бесконечная или астрономическая большая последовательность уточнения результата. Естественно, приходит обработать такой процесс в какой-то момент и довольствовать последним полученным приближением. Примером может служить процесс вычисления $\sqrt{a}$ методом последовательных приближений:

$$x_1 = (a+1)/2, \dots, x_{n+1} = (a/x_n + x_n)/2, \dots$$

Итак, мы видим, что ошибки неизбежны. Значит, необходимо уменьшить их количество оценить, чтобы получить результаты с необходимой точностью.

Распространение ошибок

Поскольку вычислительные процессы в конечном случае сводятся к выполнению четырех арифметических действия, посмотрим, что происходит с ошибками при выполнении этих действия.

Для простоты будем считать все рассматриваемые величины (которые могут быть исходными данных, промежуточными или конечными результатами) положительных. Их точные значения будут обозначать $x, y, \dots$, соответствующие приближенные — $x, y, \dots$.

Характеристикими точности приближения служат абсолютиная ошибка (или погрешность) $\Delta_x = x - x_i$ и относительная ошибка $\omega_x = \Delta_x/x$. Таблице 1 содержы формулы, выражающие зависимости абсолютиной и относительной ошибок результатов арифметических действия от ошибок данных (проверьте эти формулы самостояльно!).

При практических изменениях абсолютиной и расчетах точные значения абсолютиной и

13

Абсолютная ошибка
Относительная ошибка

$\Delta_{x+y} = \Delta_x + \Delta_y$
$\Delta_{x-y} = \Delta_x - \Delta_y$
$\Delta_{x\cdot y} = x\Delta_y + y\Delta_x + \Delta_x\Delta_y$
$\Delta_{x/y} = \left( \frac{\Delta x}{y} - \frac{x}{y} \right)\frac{\Delta y}{y}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

относительной ошибок бывают неизвестны (потому что неизвестны точные значения расматриваемых величины). Однако, зная точность измерительных прибораров, правила, по которым производилось округление промежуточных результатов и т. п., обычно можно гарантировать, что абсолютиная или относительная ошибки не превыходит по модулю неокторных величины — границей этих ошибок. Если заданы границы ошибок для величины $x$ и $y$, то из формул таблицы 1 нетрудно получить границы ошибок для $x+y$, $x-y$, $xy$ и $x/y$ (см. таблицу 2, в которой предполагается, что $|\Delta_x| \leq \Delta_1$, $|\Delta_y| \leq \Delta_2$, $|\omega_x| \leq \omega_1$, $|\omega_y| \leq \omega_2$).

Таблица 2
Граница абсолютиной ошибки
Граница относительной ошибки

$|\Delta_{x+y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x-y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x\cdot y}| \leq x\Delta_2 + y\Delta_1 + \Delta_1\Delta_2$
$|\Delta_{x/y}| \leq \frac{y\Delta_1 + x\Delta_2}{y^2}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

В этой таблице особняком стоит формула для абсолютиной ошибки частного $\Delta_{x/y}$: в нее входит сама ошибка $\Delta_y$, а ее граница $\Delta_2$, поэтому $|\Delta_{x/y}|$ может оказаться большим при $\Delta_y < 0$, даже если $\Delta_1$ и $\Delta_2$ малы.

Аналіз примеров

Попробуем сейчас понять, чем объясняется «странности», с которых мы столкнулись в приведенных в начале статьи примерах.

Пример 1. По правилам общей арифметики в произведении дробей $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1}$ можно, не меняя результата, как угодно переставить числители, а также знаменатели. Из нашей примера видно, что в арифметике приближенных вычислений это уже неверно. Чтобы понять, как возникнет расхождение в результатах, возьмем сcem простой пример — вычислим двумя способами выражение $(1 \cdot 3)/3$ (с точностью до двух знаков после запятой). Имеем
$$1,0 \times 3,0 = 3,0, \quad 3,0 \times 3,0 = 1,0,$$
но, с другой стороны,
$$1,0/3,0 = 0,33, \quad 0,33 \times 3,0 = 0,99.$$
Если арифметических действия много, то разница в ответах может быть еще большей.

Пример 2 показывает, что результат приближенного сложения нескольких чисел может зависеть от порядка, в котором оно произойдет. Расмотрим более наглудный пример. Пусть надо вычислить сумму
$$100 + 0,1 + 0,1 + \dots + 0,1,$$
2000 раз
округляя все результаты до трех значений цифр. (Напомним, что значениями называются все цифры в записи числа, начиная с первой слева ненулевой; скажем, в числах 0,017 и 1,7 — по две значие цифры, в числе 170 — три.) Если вести сложение слева направо, то сначала получим $100 + 0,1 = 100,1$ и после округления опять 100; этот результат, очень нелинейным, не изменится и в дальнейшем. При сложении справа налево получим последовательное: $0,1 + 0,1 = 0,2, \quad 0,2 + 0,1 = 0,3, \quad \dots \quad 99,9 + 0,1 = 100$. Следующая тысяча слагаемых результата не изменит, а при последнем сложении получим $100 + 100 = 200$. Это уже лучшее, но все еще далеко от точного ответа 300, получить которой можно сложить тисцу чисел 0,1, потому еще тисцу 0,1 и затем три полученные сотни. Этот пример делает достаточно понятным следующее практическое правило:

суммирование большого числа слагаемых должно быть организовано так,