Об одном свойстве параболы

50

Об одном свойстве параболы

Г. Г. БОЯХЧАН

На параболе $y=ax^2$ рассмотрим три точки $A, B, C$, проекции которых на ось $Ox$ равносторят друг от друга: $|A_1B_1|=|B_1C_1|=m$ (рис. 1). Найдем площадь треугольника $ABC$.

Для этого обозначим через $x_1, x_2, x_3$ абсциссы точки $A, B, C$ соответственно. По условию $x_2=x_1+m, x_3=x_1+2m$. Трапеция $A_1ACC_1$ составлена из треугольника $ABC$ и двух трапеций $A_1ABB_1$ и $B_1BCC_1$, поэтому

$$S_{ABC}=S_{A_1ACC_1}-(S_{A_1ABB_1}+S_{B_1BCC_1}),$$

откуда

$$A_{ABC}=\frac{ax_1^2+a(x_1+2m)^2}{2}\cdot 2m-\frac{ax_1^2+a(x_1+m)^2}{2}\cdot m-\frac{a(x_1+m)^2+a(x_1+2m)^2}{2}.$$

Приводя подобные члены, получим простейшую формулу:

$$S_{ABC}=am^3.$$

Оказалось, что искомая площадь не зависит от абсциссы точки $A$, а только от расстояния $m$ между соседними точками (и от параметра $a$, определяющего кругизну параболы).

Рассмотрим теперь общий случай — пустые абсциссы $x_1, x_2, x_3$ точек $ABC$ произвольны. Если $x_1<x_2<x_3$, то можно расчудать точно так же, как в предыдущем примере (см. рис. 1). Получим

$$S_{ABC}=\frac{ax_1^2+ax_2^2}{2}(x_3-x_1)-\frac{ax_1^2+ax_2^2}{2}(x_2-x_1)-\frac{ax_2^2+ax_3^2}{2}(x_3-x_2),$$

или, после приведения подобных членов,*

$$S_{ABC}=\left|\frac{a}{2}\left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\right|.$$

Нетрудно проверить (проверку мы оставляем читателю), что при всех других соотношениях между абсциссами формула (2) сохраняет силу. Эта формула показывает, что площадь треугольника с вершинами на фиксированной параболе зависит только от разностей абсцисс его вершин. Когда треугольник скольствует по параболе, изменяя форму, но сохраняя неизменными разности между абсциссами вершин, его площадь не меняется. Оказывается, что этим свойством обладает только парабола, но мы этого доказываются не будем.

В качестве задачи мы предлагаем читателю найти доказательства трех слеедтий формулы (2):

1. Если все вершины выпуклого многоугольника, лежащие на параболе $y=ax^2$, переведаются по параболе с сохранением разности их абсцисс, то площадь многоугольника не меняется.
2. Площадь $S$ сегмента параболы $y=ax^2$ ограниченной отрезком, концы которого имеют абсциссы $x_1$ и $x_2$ (рис. 3), равна

$$S=\frac{a}{6}\left(x_1-x_2\right)^3.$$

Указание е. См. рис. 3. Площадь кривolinейной трапеции

$$A_1ABB_1$$ находится как интеграл $\int x_1^2ax^2dx.$

3. Предыдущие результаты (формулы (1) и (2), следствия 1 и 2) остаются в силу, если параболе $y=ax^2$ заменить на параболе общего вида $y=ax^2+bc+c$.

Указание е. Существует перемещение, превращающей одну парабольу в другую.

*) Знак модели не нужен в случае, когда $x_1<x_2<x_3$, но требуется в других случаях (проверьте это!)