Ленинградский государственный университет имени А. А. Жданова

53

Ниже публикаются материалы вступительных экзаменов вузы в 1983 году.

Ленинградский государственный университет имени А. А. Жданова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультеты математико-механической и прикладной математики — процессов управления)

1. Даны правильный теграэд и шар, площади поверхности которых относится как s:1. Можно ли шар помещить в теграэд, если a) s = 2√3, 6) s = 3?
2. Решите уравнение tg 7x = sin 4x + tg 3x.
3. Высектриса тупого угла α равновочной трапеции делит большую сторону длины a в отношении 1:2. Чему равна площадь трапеции?
4. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} 8 \sqrt{\frac{1}{4} (3 \log_8 x + \log_5 (y+1))^3} - \\ -7 \sqrt{\frac{1}{4} (\log_8 x^3 + 3 \log_5 (y+1))} = 1, \\ 11 \sqrt[4]{\log_8 x^3 \cdot \log_5 (y+1)} - \\ -5 \sqrt[5]{\log_8 x \cdot \log_5 (y+1)} = 6. \end{cases}$$

3. Найдите все a, для которых любое решение неравенства
   $$|1+a|x-ax^2 \geqslant \frac{9}{16} \left| \frac{7}{16} a+1 \right| - \frac{1}{8}$$

удовлевойяет также неравенству
$$1-tg^2(ax) < -\frac{1}{\cos(ax)}$$

Вариант 2
(физический факультет)

1. Из пункта B в пункт A, расположенный выше по реке, выплывает лодка и одновременно из A в B — кater. Кater допливает до B, разворачивается и плавывает в A, затем разворачивается и т. д. Скорости кaterа и лодок в стояней воде равны v и 14v/209 соответственно. Когда лодка преодолела половину расстояния между A и B, навстречу ей из A в B выплала вторая лодка. Определите скорость течение реки, если в тот момент, когда вторая лодка прошла половину пути, кater в восемь раз приплыл в B.

2. Угол α острый, a β — тупой, причем
   $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}, \ tg^2 \beta = 51 - 10\sqrt{26}.$$

Докажите, что α + 2β = 9π/4.
3. Избраните множество точек на плоскости, координаты x и y которых удовлетворяют неравенству $a^{y+3}|x| < 1 + 2a^{-y-3}|x|$, где a — положительное число.
4. Решите уравнение
$$\frac{6}{7} \sqrt{1+tg^2 y} + 4 \cos^2 \frac{y}{2} = 5.$$
5. Степки и дно колодца, имеющего глубину H, укреплили слоем бетона толщины h. Исходное сечение колодца — равносторонний треугольник со стороны a. Найдите объем израсходанного бетона.

Вариант 3
(психологический факультет; отделение экономического кибернетки экономического факультета; отделение математического линвистики филологического факультета)

1. Из города M в город L выехала машина, а через t часов выехала машина из L в M. Их встречена произошла еще через T часов. Найдите время пробета каждой машины, если их скорости постоянны, а приблиги они в пункты назначения одновременно.
2. Решите уравнение
   $$\frac{4}{25^{-x}+8+16 \cdot 25^x} - \frac{5^x}{1+4 \cdot 25^x} + \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{23}}{5} + \frac{1}{100}.$$
3. В меньше из двух концентрических окружностей радиусов 1 и 2 впискан равносторонний треугольник. Найдите площади, на которые разбиваем большой круг прямыми, содержащими стороны треугольника.
4. Решите неравенство
   $$\frac{1}{(32 \sin^8 x)} + 4 \sin^6 x \leqslant 1 - \sin^4 x.$$
5. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \log |y| x^2 + \log_x^2 |y| = 2, \\ x^4 + yx^2 = 10+y. \end{cases}$$

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Вариант 1

1. Пуля налетает на неподвижный шар по линини, прохождение через его центр. Свойства шара и пуля подбрата таким образом, чтобы она опыте были возможны три исхода: a) пуля пробивает шар насыщь, практические не меняя его массы; b) застревает в шаре; b) отскакивает от шара назад. Определите, что именно наблюдаются на опыте, в котором скорость пули при ударе уменьшилась по модулю вдвое, а относение выделенного колецства теллоты к первоначальному кибернетку энергии равно 8.
2. В вертикальном закрытом цилиндре имеются два поршня, которые могут перемещаться без тремя (рис. 1). Части A, B и C сосуда, разделенные поршнями, содержат одинаковое число молlei идеального газа. При некоторых температуре, одинаковой во всем цилиндре, относение объемов равно $V_A:V_B:V_C = 5:3:1$. Затем температура в цилиндре изменяется, и новое относение объемов равны $V_A':V_B':V_C' = x:2:1$. Определите значение x. Во сколько раз изменяется температура?