Задача для исследования

49

Таким образом, тепломкость газа
$$C = C_V + \frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T} = C_V + R/2.$$
Упражнения

1. Моль идеального одноатомного газа из состояния с начальной температурой $T_1 = 300$ К на гревается изхорно, а затем изобарно охлаждается до некоторой конечной температуры. Найти эту температуру, если известно, что количество теплопродукты $Q = 1500$. Дж, подведенное на изохоре, равно по модулю количество теплопродукты, отведенного от газа на изобарном участке.
2. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл (рис. 5). Сначала газ изобарно совершается, так что его объем увеличивается: $V_2/V_1 = n$. Затем он изхорно охлаждается, так что его давление уменьшается: $p_2/p_1 = m$. Наконец, газ аднабатно переходит в исходное состояние. Определите по этим данным работу газа на аднабатном участке, если известна его начальная температура $T_1$ и молярная температура $C_V$.
3. Идеальный одноатомный газ находится в массляном пузике, помещенном в вакуумную камеру. Найти тепломкость (в расчете на моля) газа при его нагревании. Телюмкостью пленки и зависимости коэффициента поверхностного натяжения жидкости от температуры претензь. Указание. Давление газа $p$ связывано с радиусом пузира $r$ и коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$ формулой $p = 4\sigma/r$.

Задча
для исследования

Цепные дроби
и дихотомическая
последовательность Штерна

Взгляните на таблицу 1. В ее верхней, «нулевой», строчке стоит две дроби $\frac{0}{1}$ и $\frac{1}{1}$.

Чтобы получить любую из последующих строкек, надо взять предыдущую строку и между каждой длиной двумя ее соседними дробями встать дробь, численный которой равен сумме их числителей, а знаменатель — сумме их знаменателей. В $n$-й строчке будет $2^n + 1$ чисел, которые мы обозначим через $a_{n,0}, a_{n,1}, \dots, a_{n,2^n}$.

Любопытно, что в процессе составления таблицы 1 в числительных дробей будет многократно возникать одна и та же таблица 2, образованная знаменательми дробей из таблицы 1 (таблицу 2 называют «дихотомический последовательностью Штерна»). Таблица 1 обладает замечательным свойством, о котором рассказываюсь в стате В. Н. Багутена «Ближние дроби» («Квант», 1975, № 8):

каждая несократимая дробь $\frac{m}{n}$,
$0 < \frac{m}{n} < 1$, появляется в этой таблице не позже чем в $(n-1)$-й строчке и встречается во всех следующих строкахровно по одному разу. Как заметил наш читатель А. Одес-

ский, с помощью цепных дробей можно получить явную формулу для числа $a_{n,p}$; докажите, что каждое число $p \leq 2^n$ можно представить в виде мы восполняющих сокращенных общначениями для цепных дробей (см., например, «Квант», 1983, № 5, с. 18).

Попробуйте также выяснить, в какой именно строчке и на каком месте впервые появляется в таблице 1 дробь $\frac{m}{n}$. Напишите нам о других интересных закономерностях и формулах, которые вам удадятся в этой таблице.

H. Б. Васильев