Избранные школьные задачи

28

Избранные школьные задачи

Под этим задолковом в разделе «Школа в Кванте» будут решаирно публикаться заданно по математике, теоно связанные со школьным курсом. В отличие от «Задачника Кванта», здесь мы будем помещать довольно известные задачи — «школьную математическую класску». Их решения (как правило, короткие, но не всегда очень удобные!) будут публикаться в конце того же номера журнала. Систематически разбирая эти задачи, вы познакомитесь со многими полезными примами, которые пригодятся вам на школьных контрольных и экзаменах, при поступлении вуз или на олимпиаде. Мы надеемся, что «Избранные школьные задачи» оказывается интересным и для учтелей, а также для тех студентов, которые готовятся стать им.

Восьмой класс

1. Разложите на множители выражения:
   a) $a^4 + 4b^4$;
   b) $a^4 + b^4$.
2. Докажите, что в грапении 4 точки — середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
3. a) Пусть на плоскости заданы две параллельные прямые и отрезок $AB$ на одной из них. Постройте середину отрезка $AB$ с помощью одной линейки.
4. Какую фигуру задает на координатной плоскости herавенство $|x| + |y| \leq 1$?
5. При эскаваторам должны выкопать грашено. Сначала первый из них работал столкво времени, сколько попадобилось бы второму и третьему эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. Затем второй из них работал столкво времени, сколько попадобилось бы первому и третьему эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. Наконеч после этого третий эскаватор проработал столкво времени, сколько попадобилось бы первому и второму эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. В результате этой работы эскаваторы вырыли всю трашено. Во сколько раз быстрее они вырыли бы трашено, работая все вместе, а не подиночке?

Девятый класс
6. Пусть $a + 4b = 2$. Какое наиболее значение может принять произведение $ab$?
7. Задание о чистом кунцце. Один честный кунцец заметил, что на весах, которые он пользовется, одно плею кормься немного длине другого (в то время пользовались весами с двумя чашками на кормьсле). Что делать? Обещивать покупателей — грех, но и себя обжать не хочеется! В это время в лавку запел покупатель и попросил взвесить ему два фунта орехов. «Взвесу-ка я орехи в два приема», подумал кунцец. «Сначала поставлю фунтовую грию на левую чашку весов и насыплю на правую столько орехов, чтобы уравновесили. Отдав эти орехи покупателю, я затем поставлю ту же фунтовую грию на правую чашку весов, а на левую насыплю столько орехов, чтобы весы снова

8. Пусть функция $f(x)$ задана формулой
   $$f(x) = (x^2 + 5x - 8)^{100} \cdot x^5.$$
   (1)

Если произвести все указанные в правой части формулы (1) действия и приведенные подблены члены, то функция $f(x)$ запишется в виде многочлена:
$$f(x) = a_0x^{205} + a_1x^{204} + a_2x^{203} + \dots + a_{204}x + a_{205},$$
(2)
где $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{205}$ — некоторые числа (коэффициенты многочлена).
a) Найдите сумму всех коэффициентов
$$S = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{204} + a_{205}$$
указанного многочлена, стоящих при нечетных степенях $x$.
b) Найдите сумму коэффициентов
$$S_4 = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{205}.$$
9. Докажите, что любую функцию $f(x)$, определяющую на все числовой оси, можно представить как сумму четной и нечетной функции.
10. Пусть в терраде (произвольной треугольной прямые) высота, проведенная из вершины, проходит через точку пересечения высот треугольника, расположенного в основании. Докажите, что:
a) скрещивающийся ребра треугольника взимно перпендикулярны;
b) остальные высоты треугольной прямые пересечения высот соответствующих границ;
b) все четыре высоты треугольника пересекаются в одной точке;
g) суммы квадратов длины каждой пары скрещивающихся ребер одинаковы.

Десетый класс
11. a) Докажите, что $\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} = \frac{1}{2}$.
6) Докажите, что $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
12. Какую фигуру задает в координатном пространстве herавенство $|x| + |y| + |z| \leq 1$?
13. Решите уравнения:
a) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2; b)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2^x.
14. Упростите выражения:
a) $\log_a tg \theta + \log_a tg 2^\theta + \dots + \log_a tg 88^\theta + \log_a tg 89^\theta; b)$\log_a sin 60^\circ + \log_a sin 61^\circ + \dots + \log_a sin 119^\circ + \log_a sin 120^\theta;
b) $\log_2 3 + \log_3 4 + \log_4 5 + \dots + \log_{n-2}(n-1)n.$
15. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри или на границе правильного треугольника, до его граней равна высоте треугольника.

Публикацию подготовил Ж. М. Раббот