Теплоёмкость идеального газа

46

Теплоемкость идеального газа

Доктор физико-математических наук
С. М. КОЗЕЛ.
кандидат физико-математических наук
А. А. ШЕРОНОВ

Определение тепломкости связи с первым законом термодинамики — законом сохранения и превращения энергии в тепловых процесах. Согласно этому закону, количество теплоты $Q$, переданное телу (или системе тел), идет на изменение $\Delta U$ его внутренней энергии и на совершение работы $A'$ над внешними телами:

$$Q = \Delta U + A'.$$

Для однородного тела удобно говорить о тепломкости одного моля вещества. Молярной тепломкости $C$ называют количество теплоты, полученное одним молем вещества при нагревании его на один градус. Если в процессе нагревания количество вещества $v = m/M$ (здесь $m$ — масса, $M$ — молярная масса вещества) было передано количество теплоты $Q$, а его температура изменилась от $T_1$ до $T_2$, то

$$C = \frac{Q}{v(T_2-T_1)} = \frac{Q}{(m/M)(T_2-T_1)}$$

В Международной системе единиц (СИ) молярная тепломкость изменяется в Дж/(К·моль).

Наряду с молярной тепломкостью $C$ можно определить удельную тепломкость $c$, то есть тепломкость единицы массы вещества. Очевидно, что $c = C/M$.

Зная тепломкость вещества в данном термодинамическом процессе, легко найти полученное телом количество теплоты:

$$Q = mc(T_2-T_1) = \frac{m}{M} C(T_2-T_1) = vC(T_2-T_1).$$

Очень важно понимать, что работа $A'$, совершаемая над внешними телами, зависит от условий, при которых процесс передачи тепла. Поэтому тепломкость определяется не только свойством вещества, но и видом термодинамического процесса.

Например, при изотермическом расшириении газа ($T = \text{const}$) к нему подводится телло, но его температура остается неизменной. Из определения следует, что тепломкость газа в изотермическом процессе бесконечно велика. В этом случае все переданное систему количественного теплоты идет на совершение работы: $Q = A'$. Если тот же газ участвует в диабатном процессе, то его температура изменяется, а получаемое газом количество теплоты равно нулю. Следовательно, в диабатных процесах тепломкость равна нулю, и работа $A'$ газа над внешними телами совершается за счет убили внутренней энергии: $A' = -\Delta U$.

Итак, тепломкость газа зависит от термодинамического процесса. Процессы, при которых тепломкость остается неизменной, принято называть политропическими. Примерами политропических процессов, например с изотермическим и диабатным, являются также изохорный ($V = \text{const}$) и изобарный ($p = \text{const}$) процессы. Соответствующие им молярные тепломкости обозначают через $C_V$ и $C_p$. Расстоянием эти процессы более подробно (рис. 1).

В первом случае ($V = \text{const}$) поршень закреплен (см. рис. 1, а), и газ при нагревании работы не совершает. Все полученное газом телло идет на увеличение его внутренней энергии. Во втором случае ($p = \text{const}$) поршень свободен (см. рис. 1, б), газ при нагревании расширяется и совершает работу. Полученное газом телло лишь частично идет на увеличение внутренней энергии, остальные части затрачаются на со-

47

вершение работы по распределению. Ясно, что для повышения температуры газа на один градус во втором служебном передать газу большое количество теплоты, следовательно, $C_p > C_V$.

Найдем теперь количество связь между $C_p$ и $C_V$. Из молекулярно-kineticческий теории известно, что внутренняя энергия идеального газа пряmo пропорциональна его абсолотной температуре. В учебнике «Физика 9» показано, что для одноатомного газа $U = 3/2 RvT$ (где $R$ — универсальная газовая постоянная). При изохорном процессе $A' = 0$, $Q = \Delta U = C_V v (T_2 - T_1)$. Отсюда следует, что для одноатомного газа молярная тепломкость при постоянном объеме равна $C_V = 3/2 R$.

Работа газа при изобарном распределении вычисляется по формуле
$$A' = p (V_2 - V_1) = p \Delta V.$$
Если в рассматриваемом термодинамическом процессе давление изменяется, эту формулу тоже можно применять, но только для очень малых участков процесса, на которых изменение объема $\Delta V$ мало и поэтому давление $p$ можно приближенно считать постоянным. Мы можем записать теплый закон термодинамики в виде
$$Q = C_V v (T_2 - T_1) + p (V_2 - V_1) = C_V v \Delta T + p \Delta V.$$
Отсюда, используя определение молярной тепломкости, получаем формулу для тепломкости идеального газа в произвольном процессе:
$$C = \frac{Q}{v (T_2 - T_1)} = C_V + \frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$
Изменения объема $\Delta V$ и температуры $\Delta T$ в этой формуле связаны уравнением состояния идеального газа $pV = vRT$ и уравнением теплового процесса, в котором участует газ. В частности, для изобарного процесса
$$p (V_2 - V_1) = vR (T_2 - T_1),$$ или $\frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{vR}{p}$.
Следовательно, тепломкость $C_p$ одного моля идеального газа в процессе при $p = const$ есть
$$C_p = C_V + R.$$
Для одноатомного газа $C_p = 5/2 R$.

Заметим, что у твердых и жидких тепломкости $C_p$ и $C_V$ мало отличия друг от друга. Это связано с тем, что при нагревании твердых или жидких тел их объем изменяется очень мало, так что в обычных условиях (то есть при atmosферном давлении или близком к нему) совершаемая при распределении работа практическая оказывает нулю. В этом случае тепломкость равна изменению внутренней энергии тела при нагревании на один градус.

Теперь пропилюстриум сказано на несколько конкретных задачах, которые в разных годы предлагались абитурентам на вступительных экзаменах в Московском физико-техническом институте.

Задача 1. Некоторые количества идеального газа нагревается при постоянном давлении $p = 1$ атм от температуры $T_1 = 300$ К до температуры $T_2 = 400$ К. Какую работу совершил газ в этом процессе, если его начальный объем $V_1 = 3$ л?

Пусть $v$ — данное количество вещества, $C_V$ и $C_p$ — молярные тепломкости газа при постоянном объеме и давлении соответственно.

Подведенное к газу количество теплоты
$$Q = v C_p (T_2 - T_1),$$
а увеличение внутренней энергии газа
$$\Delta U = v C_V (T_2 - T_1).$$
Совершенная газом работа $A'$, по первому закону термодинамики, есть
$$A' = Q - \Delta U = v (C_p - C_V) (T_2 - T_1) = v R (T_2 - T_1).$$
Из уравнения состояния идеального газа находится
$$vR = pV_1/T_1,$$
тогда окончательно для работы газа получим
$$A' = pV_1 (T_2/T_1 - 1) = 100 \text{ Дж.}$$

Разумеется, приведенное решение не является единственно возможным. В данной задаче можно обойти и без понятия тепломкости, воспользоваться непосредственно формулой для вычисления работы газа при изобарном процессе.

Задача 2. Моль идеального газ из состояния с температурой $T_1 = 100$ К распределяется изобарно, а затем изохорно переходит в состояние с начальной температурой (рис. 2). Во сколько раз изменяется при этом объем газа, если для переода газа из начального состояния в конечное к нему пришлось подвести количество теплоты $Q = 831 \text{ Дж?}$

Тепло подводится к газу на изобарном и отводится на изохорном участках:
$$Q = v C_p (T_2 - T_1) + v C_V (T_1 - T_2) = v R (T_2 - T_1).$$

48

Для изобарного участка из уравнения состояния нахождения $T_2 - T_1 = T_1(T_2/T_1 - 1) = T_1(V_2/V_1 - 1)$.
Из этих соотношения получаем
$$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{Q}{vRT_1} = 2.$$
Задача 3. Из начального состояния с известной температурой $T_1$ молым идеально зазапекudit в состоянии с той же температурой двумя путями (рис. 3). В одном из них заза сначала наревается изобарно до температуры $T_2 = 2T_1$, а затем изхорно охлаждается. В другой — заза сначала изхорно охлаждается, а затем изобарно наревается. Найдите разность количества теплоты, подведенных к зазу в обих случаях.

Решение этой задачи аналогично предыдущему:
$$Q_1 = vC_p(T_2 - T_1) + vC_v(T_1 - T_2),$$
$$Q_2 = vC_v(T_3 - T_1) + vC_p(T_1 - T_3),$$
и
$$Q_1 - Q_2 = vR(T_2 + T_3 - 2T_1).$$
Приемя уравнение состояния $pV = vRT$ для изобарных участков процессов 1 и 2, найдем связь температур $T_1$, $T_2$ и $T_3$:
$$p_1 = \frac{vRT_1}{V_1} = \frac{vRT_2}{V_2}, \quad p_2 = \frac{vRT_3}{V_1} = \frac{vRT_1}{V_2},$$
откуда
$$T_1^2 = T_2T_3.$$
По условию $T_2 = 2T_1$, поэтому $T_3 = T_1/2$. Окончательно получаем
$$Q_1 - Q_2 = vRT_3 = vRT_1/2.$$
Задача 4. Моль идеально заза распределяется по закону $pV^2 = const$. Определите молярную темперакость заза в этом процессе.
Как было сказано ранее, молярная темперакость заза
$$C = C_V + \frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Из уравнения состояния $pV = vRT$ и уравнения процесса $pV^2 = const$ получаем
$$VT = const.$$
Это равенство справедливо при любых $V$ и $T$, поэтому
$$(V + \Delta V)(T + \Delta T) = VT.$$
Раскрывая скобки и пренебрегая малым слагаемым $\Delta V\Delta T$, находим отношение изменения объема $\Delta V$ к изменению температуры $\Delta T$:
$$V\Delta T + T\Delta V = 0, \text{ или } \frac{\Delta V}{\Delta T} = -\frac{V}{T}.$$
Тогда окончательно молярная теплоемкость оказывается
$$C = C_V - \frac{pV}{vT} = C_V - R.$$
Нетрудно убедиться в том, что при расшириении по закону $pV^2 = const$ охлаждается (это непосредственно следует из условия $VT = const$). За счет убили его внутренней энергии совершается работа по расшириению ($A' > 0$) и некоторое количество теплоты отдается окружающим телам ($Q < 0$).
Задача 5. Моль идеально заза помещают в цилиндр с подвижным неисомным поршнем, скрепленным с дном с помощью пружины, растяжение которого поднимается закону Гука (рис. 4). Определите теплоемкость заза, считая внешнее давление равным нулю и пренебрегая диной нерастую прижины.
Пусть $p$ — давление газа, $V = Sx$ — объем, занимаемый газом, где $S$ — сечение цилиндра, $x$ — длина растянутой пружины. Обозначим жесткость пружины через $k$ и запишем условие поршня:
$$pS = kx, \text{ или } pS^2 = kV.$$
Из последней формулы следует, что изменения давления $\Delta p$ и объема $\Delta V$ связаны соотношениям
$$\Delta p = \frac{k}{S^2}\Delta V = \frac{p}{V}\Delta V.$$
Из уравнения состояния $pV = vRT$, справедливо при любых $p, V, T$, находим
$$(p + \Delta p)(V + \Delta V) = vR(T + \Delta T).$$
Раскрывая в последнем равенстве скобки и пренебрегая малым слагаемым вида $\Delta p\Delta V$, получим
$$p\Delta V + V\Delta p = vR\Delta T,$$
или, учитывая связи $\Delta p$ и $\Delta V,$
$$\frac{p}{v} \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{R}{2}.$$