Дифференцирование сложной функции

26

нитные волны, интенсивность которых пропорциональна квадрату ускорения.

Этот закон обязывает и излучение электромагнитных волн вRENTеновской трубке. Электроны, пролегая в глубоком вакууме в пространстве между катодом и аномом, разгоняются электрическим полем до больших скоростей, а затем резко тормозятся при соударении с аномом. При этом возникают значительные ускорения, и электроны излучают электромагнитные волны. Такое излучение называется тормозным.

Оказывается, что, тормозясь, электроны излучают цельный спектр электромагнитных волн с разными частотами (или длинами волн). Этот спектр — сплошной, но он ограничен определенной максимальной частотой $v_{\text{max}}$ (такое ограничение по частоте можно обяснить только с точки зрения квантовой теории).

Самая большая частота (и, соответственно, самая малая длина волны) определяется из условия равенства кинетической энергии электрона $eU$ (U — напряжение между аномом и катодом) энергии излучемого кванта:

$$eU = hv_{\text{max}},$$

откуда

$$v_{\text{max}} = \frac{eU}{h},$$

и, соответственно, минимальная длина волны

$$\lambda_{\text{min}} = \frac{c}{v_{\text{max}}} = \frac{ch}{eU} \cdot$$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света. При разности потенциальов в несколько десятиков киловольт минimalная длина волны достигает долей ангстрема ($1\mathring{\mathrm{A}} = 10^{-10}\text{ m}$). Такое коротковolverное излучение обладает большой проникающей способностью и называетсяRENTеновским излучением.

(*) Измерив на опыте минимальный длину волны $\lambda_{\text{min}}$ и напряжение $V$, можно из этого равенства определять значение постоянной Планка $h$. Из таких опытов было получено значение $h = 6,62 \cdot 10^{-34}\text{Дж} \cdot \text{с}$.

Дифференцирование сложной функции

В. С. ЭППЕЛЬ

Все абитуренты знают, что $(\sin x)' = \cos x$. Однако равенства вроде $(\sin 2x)' = \cos 2x$ или $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$, которые нет-нет да и грешат абитуренты, грубо неверны. Дело в том, что функция $\sin 2x$ и $\sin^3 x$ — сложные и дифференцированные их — задача тоже более сложная. Мы показем здесь, как решать эту задачу практические.

Ошибки вроде $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$ возникают тогда, когда поступающие не умют расшифровать запись $y = \sin^3 x$, не видят в этом простом выражении сложной функции — композиции двух функций (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 20). В действительности, функция $y = \sin^3 x$ получается последовательным выполнением двух операций: взятая синуя угла $x$ и возведенная полученного числа $\sin x$ в куб:

$$x \rightarrow \sin x \rightarrow (\sin x)^3.$$

В записи функции $y = \sin^3 x$ нужно су-метЬ разделно уви деть одну за другой две функции (синус и степень), из которых она составлена. Это легче сделать, если эта функция записана в виде $y = (\sin x)^3$.

Для наглядности, на первых порах мы будем помогать читателю распознавать сложные функции с помощью цвета. В нашем примере

$$y = (\sin x)^3 \quad \text{или} \quad y = \sin^3 x$$

В общем случае, чтобы применять правила дифференцирования сложной функции («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 21)

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

необходимо данную функцию суметь «увидеть» в форме $f(g(x))$. Для этого вначале нам будет помогать цвет. Расстояние между двумя примерами.

Продифференцируем функцию

$$y = \sin 2x = \sin u, u = 2x$$

(каждая функция имеет свой цвет):

$$y' = (\sin u) \cdot (2x)' = (\cos u) \cdot 2 = 2\cos 2x.$$

27

(Но не cos 2x.)
Точно так же
$$y = \sin^3 x = u^3, \quad u = \sin x;$$
$$y' = (u^3)' \cdot (\sin x)' = (3u^2) \cdot (\cos x) = 3 \sin^2 x \cos x.$$

(Но не cos³ x.)
На практике такое дифференцирование произвольного города короче и проще, во всяком случае без введения в запись u.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно — дифференцируемую в данной момент), не замечая пока другие, — открытые их видение до момента их дифференцирования.

Вот еще несколько демонстрационных примеров, уже без введения промежуточного «u», так, как обычно осуществляют и записьют дифференцирование сложной функции те, кто обладает свободным навыком такого дифференцирования. Только по-прежнему каждую дифференцируемую функцию и ее произвольную мы будем писать одинаковым цветом.

$$y = (2x^4 - 5x^2 + 6)^8;$$
$$y' = 8(2x^4 - 5x^2 + 6)^7 \cdot (8x^3 - 10x).$$
$$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \left(R^2 - x^2\right)^{\frac{1}{2}};$$
$$y' = \frac{1}{2}\left(R^2 - x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$$

Следующая сложная функция —
$$y = \sin^3 5x.$$

она является, как видно хотя бы уже по количеству цветов, композицией трех функций: 1) сину; 2) возвведение в степень; 3) умножение на 5.

Продиференцируем ее:
$$y = \sin^3 5x;$$
$$y' = \left(3 \sin^2 5x\right) \cdot \left(\cos 5x\right) \cdot \left(5\right) = 15 \left(\sin^2 5x\right) \cos 5x.$$

Поскольку от перемены мест сложнительной произведение не меняется, то и перебирать функции для дифференцирования, само собой разумется, можно в любом порядке.

Еще несколько примеров:
$$y = \mathrm{tg} x^3; \quad y' = \frac{3x^2}{\cos^2 x^3}.$$
Функцию

мы дифференцируем как произведение функции по формуле $(uv)' = u'v + v'u$:
$$y' = \left(x^2\right)' \left(\ln x^3\right) + \left(x^2\right)' \cdot \left(\ln x^3\right)' = 2x \ln x^3 + x^2 \cdot \frac{1}{x^3} \cdot \left(3x^2\right) = 2x \ln x^3 + 3x.$$

$$y = 2x^3 - 5x;$$
$$y' = 2x^3 - 5x \ln 2 \cdot \left(3x^2 - 5\right)$$

У разнения. Продиференцируйте, используя по мере надобости многоцветную запись:

1. $y = (x^3 + 2)^4$; 2. $y = \sqrt{1 + 5x^2}$;

2. $y = e^{x^2 - 3x}$; 4. $y = \ln (2x^3 - 4x^2)$;

3. $y = \lg (2x^3 - 4x^2)$; 6. $y = 5^{\sin x}$;

4. $y = \log_{0.3}(8x^2 - 2x^3)$;

5. $y = \cos (2x - 1)$; 9. $y = \cos^2 3x$;

6. $y = \sqrt{\mathrm{tg} x}$; 11. $y = x \mathrm{tg}^2 x$;

7. $y = \sin \sqrt{ax}$; 13. $y = \ln \sin x$;

8. $y = 3^{\frac{1}{x}}$; 15. $y = \frac{1}{\cos 2x}$.

9. Доказите, что функция $y = c \sqrt{1 + x^2}$ служит решением дифференциального уравнения $y' = xy / (1 + x^2)$.

Поправки

1. В «Кванте» №1 на с. 57 во втором уравнении задачи 1 варианта 1 ошибочно напечатано 15 вместе 55.
2. В последнем абзаце на с. 47 «Кванте» №2 над 1-й, 4-й, 7-й жирными буквами A и 1-й, 3-й, 5-й, 6-й, 8-й жирными буквами B должны стоять черта (А, В), пропущенная по вине типографии.