Задачи М856—М860; Ф868—Ф872

32

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задания отмещаются звездочки. После формирования мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 30 июня 1984 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» №4 — 84» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M856, М857» или «Ф868». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указать номер школь и класс, в котором вы учитесь.

ВНИМАНИЕ!

Задачу М846 следует решать в более общей формеировке: докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длины его диазоналей. Срок отправки ее решений продлевается до 30 июня.

M856—M860; Ф868—Ф872

M856. а) Постройте четырехугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющегося диагоналей.

6. При каких условиях задача имеет решение?

И. З. Титович

M857. Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пятей целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, …). Каких чисел оказывается больше: отчеченных или не отчеченных?

С. Стадниченко

M858. Для величины α, β и γ углов неокоторого треугольника выполнен соотношение

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin \gamma.$$

a) Найдите α, β, γ, если известно, что треугольник равнобедренный (расмотрите все случаи).

6. Может ли треугольник быть остроугольным?

b)* Какие значения может принимать наиболее угол треугольника?

П. Б. Гусятиков

M859. Найдите наименьшее положительное число α такое, что для любого квадратного трехчлена f(x), удовлетворяющего при 0≤x≤1 неравенству |f(x)|≤1, выполняется неравенство |f’(1)|≤α.

В. П. Пикулин

M860.* a) Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности, K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со стороны треугольника ABC. Доказите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем |OZ|:|ZK|=3R/r.

6. Пусть a, b, c — длины сторона треугольника ABC, $\vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c$ — единичные векторы, перпендикулярные к соответствующим сторонам треугольника и направленные во внешнюю сторону (рис. 1). Доказите, что

$$a^3\vec{n}_a + b^3\vec{n}_b + c^3\vec{n}_c = 12S \cdot M\vec{O},$$

где S — площадь треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. O — центр описанной окружности.

Чан Куан

33

Ф868. Колечки $O$ и $O'$ надеты на вертикальное закрепленные стержни $AB$ и $A'B'$. Нерастяжимая нить привязана к колцу $O$, пропущена через колцо $O'$ и закреплена в точке $A'$ (рис. 2). В тот момент, когда $\angle AOO' = \alpha$, колцо $O'$ движется вниз со скоростью $v$. Найти скорость колцца $O$ в этот момент.

С. С. Кротов

Ф869. Вертикальная длина кирпичная труба заполнена чугуном. Нижний конец трубы поддерживается при температуре $T_1 > T_{nл}$ ($T_{nл}$ — температура плавления чугунна), верхний — при температуре $T_2 < T_{nл}$. Теплопроводность у расплавленного чугунна в $k$ раз больше, чем у твердого. Какая часть металла находится в расплавленном состоянии?

А. И. Буздин

Ф870*. Одноатомный идеальный газ расширяется так, что его молярная температура $c_x$ остается постоянной; при этом газ совершает работу $A = 165$ Дж. Затем газ изохорически нагревается до первоначальной температуры, для чего к нему подводят количество теплоты $Q = 125$ Дж. Определить $c_x$.

А. А. Шеронов

Ф871. Первоначально незаряженный конденсатор emкости $C$ подключит к последовательно соедининым батареем с напряжением $U_0$ и катушки с индуктивностью $L$. Ток через катушки вначале увеличивается, а затем уменьшается. В тот момент, когда ток становится равным нулю, конденсатор отключают от схемы и подключит вновь, поменяя местами его выходы. Какой максимальный ток будет после этого чечез катушки? Как изменится этот ток, если процесс переключения повторить 1984 раза? Сопротивлением цепи пренебречь.

А. Р. Зильберман

Ф872. Длинные санки, скользывание по очень гладкому льду, вызжают на acфальт и останавливаются, не пройдя половины своей длины. После этого саням резким толком сообщают первоначальную скорость, и они вновь останавливаются. Как относится время на торможения в первом и во втором случах? Как относится пути торможения?

С. С. Кротов

Problems

M856—M860; P868—P872

M856. a) Construct a quadrilateral knowing the lengths of its sides and that of the segment joining the midpoints of the diagonals.

b) Under what conditions does the problem have a solution?

I. Z. Titovich