Hình học thu nhỏ

Hình học thu nhỏ

Có một câu chuyện ngụ ngôn nổi tiếng về một con rết thông minh quên cách đi, đang suy nghĩ về thứ tự sắp xếp lại nhiều chân của mình. Tám mươi đến chín mươi năm trước, một câu chuyện tương tự đã xảy ra với các nhà toán học: họ nghĩ xem kết luận của mình có giá trị như thế nào khi chứng minh các định lý. Sau gần hai mươi năm phấn khởi và làm việc cật lực, những tiêu chuẩn về tính chính xác toán học đó đã được phát triển, theo đó mọi lý thuyết “tự trọng” đều được xây dựng cho đến ngày nay, và cuối cùng người ta thấy rõ rằng toán học sẽ tránh được số phận của con rết bất hạnh.

Đồng thời, tòa nhà hùng vĩ và đồng thời mảnh mai của hình học Euclide đã được cứu khỏi sự phá hủy và được khôi phục; Kể từ đó, 20 tiên đề được David Hilbert mô tả trong cuốn “Cơ sở hình học” của ông đã trở thành nền tảng vĩnh cửu của nó. Hình học Euclide có thể được so sánh với Nhà thờ lớn Cologne nổi tiếng (được xây dựng, hoàn thiện và xây dựng lại bởi nhiều thế hệ thợ xây, những người đã mãi mãi định cư bên cạnh quảng trường nhà thờ và truyền lại nghề thủ công cũng như nơi làm việc cho con cháu của họ).

Hình học hữu hạn được cấu trúc hoàn toàn khác: vật liệu xây dựng tối thiểu là một số hữu hạn các điểm, đường thẳng và mặt phẳng, quy tắc tối thiểu để xử lý vật liệu này là ba hoặc bốn tiên đề chi phối mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Có vẻ như trong vương quốc “kính và nhôm” này không có bí mật hay bí ẩn nào cả. Điều này hoàn toàn không đúng, và đây là một ví dụ: bất chấp nỗ lực của ba thế hệ nhà toán học, người ta vẫn chưa biết liệu có tồn tại một mặt phẳng hữu hạn affine (xem § 1) gồm 100 điểm hay không.

§ 1. Mini-Euclide, hay đúng hơn là mặt phẳng affine hữu hạn

Các yếu tố tạo nên chiếc máy bay mini là “điểm” và “đường thẳng”. (Đây chỉ là những cái tên, như người đọc sẽ thấy, khác xa với nghĩa thông thường của những từ này. D. Hilbert nói rằng “điểm”, “đường” và “mặt phẳng” cũng có thể được gọi là “ghế”, “bàn” và “vòng tròn”.) Điểm $A$ có thể nằm trên đường thẳng $a$; điều tương tự có thể được diễn đạt khác nhau: điểm $A$ thuộc về dòng $a$, dòng $a$ đi qua điểm $A$, dòng $a$ chứa điểm $A$. Về điểm và đường, bất kỳ phát biểu nào khác có thể được biểu thị thông qua mối quan hệ cơ bản này đều hợp lệ: phát biểu “các đường $a$ và $b$ giao nhau” có nghĩa là có một điểm duy nhất nằm trên cả đường $a$ và đường $B$; “các đường $a$ và $b$ là song song” nếu chúng không giao nhau, v.v.

Chúng ta sẽ gọi một tập hợp hữu hạn các điểm và đường thẳng có quan hệ “nằm trên” hoặc “thuộc về” là mặt phẳng affine hữu hạn nếu ba tiên đề sau được thỏa mãn:

Tiên đề A1. Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng.

Tiên đề A2. Qua một điểm bất kỳ không nằm trên một đường thẳng, luôn có một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho.

Tiên đề A3. Có ba điểm không thẳng hàng

Giải thích tiên đề A1-A3

1. Tiên đề đầu tiên được chuyển đến đây từ hình học Euclide mà không thay đổi, tiên đề thứ hai tương ứng với tiên đề song song trong hình học Euclide (Định đề thứ Năm nổi tiếng), tiên đề thứ ba cứu chúng ta khỏi hình học suy biến, giống như tiên đề được hiển thị trong Hình 1, a).

2. Trong phép đo mặt phẳng mini của chúng tôi, các mệnh đề sau là vô nghĩa: “điểm $A$ thuộc đoạn $BC$”, đoạn $AB$ bằng nhau với đoạn $CD$”, “điểm $A$ nằm trong góc $BCD$”, “góc $ABC$ và $DEF$ bằng nhau” và rất nhiều khái niệm và phát biểu quen thuộc khác chúng tôi.

3. Mọi thông tin về bất kỳ đường thẳng nào đều chứa trong danh sách các điểm nằm trên đường thẳng đó; Do đó, quan điểm này về sự vật là hoàn toàn có thể chấp nhận được (mặc dù không hề cần thiết): mặt phẳng là một tập hợp hữu hạn các điểm, các đường thẳng là các tập hợp khác nhau của các điểm này.

Hình 1. a) Hình học “thoái hóa” (vi phạm Tiên đề A3!). b) Một mặt phẳng có bốn điểm và sáu đường thẳng. Các đường $AC$ và $BD$ song song với nhau!

Mặt phẳng nhỏ tối thiểu thỏa mãn ba tiên đề của chúng ta chứa bốn điểm và sáu đường thẳng; hình ảnh thông thường của nó được hiển thị trong Hình 1, b. Quy ước của hình vẽ này và nhiều hình vẽ khác trong chuyên luận của chúng tôi là trong đó các điểm thông thường tương ứng với các điểm của một mặt phẳng hữu hạn, các đường thông thường tương ứng với các đường thẳng của một mặt phẳng hữu hạn, và quan hệ thông thường thuộc về (“nằm trên” hoặc “thuộc về”) tương ứng với quan hệ thuộc về một mặt phẳng hữu hạn. Nhưng các cấu hình của một mặt phẳng hữu hạn không phải lúc nào cũng được gắn vào một mặt phẳng thông thường mà không có bất kỳ vi phạm nào, đôi khi buồn cười, đối với cấu trúc Euclide của nó. Ví dụ: trong Hình 1, b các đường chéo của “hình vuông” $ABCD$ song song với nhau!

Bài toán 1. Chứng minh rằng mọi mặt phẳng affine hữu hạn đều chứa ít nhất bốn điểm và sáu đường thẳng. (Đây là lý do tại sao mặt phẳng trong Hình 1, b) là nhỏ nhất.)

Vì vậy, nền tảng đã được đặt. Chúng ta bắt đầu xây dựng hình học trên mặt phẳng affine hữu hạn với một số định lý hiển nhiên; Sau khi đọc các điều kiện của định lý tiếp theo, hãy cố gắng tự chứng minh định lý đó và chỉ sau đó tự kiểm tra bằng cách xem phần chứng minh của chúng tôi (phần đầu của bằng chứng được đánh dấu bằng $\square$ và phần cuối bằng $\blacksquare$).

Định lý A4. Nếu hai đường thẳng song song có điểm chung thì chúng trùng nhau.

$\square$ Theo định nghĩa, các đường thẳng song song không thể có một điểm chung. Do đó, chúng có ít nhất hai điểm chung và theo tiên đề A1, chúng phải trùng nhau. $\blacksquare$

Định lý A5. Có ba đường thẳng cắt nhau tại ba điểm khác nhau.

$\square$ Để ba điểm $A$, $B$ và $C$ không nằm trên cùng một đường thẳng (Tiên đề A3; Hình 2); thì ba đường thẳng $a$, $b$ và $c$ đi qua Tiên đề A1 qua các cặp điểm $(B,C)$, $(A,C)$ và $(A,B)$ lần lượt cắt nhau theo cặp: đường thẳng $a$ và $b$ - tại điểm $C$, đường thẳng $a$ và $c$ - tại điểm $B$, các đường thẳng $b$ và $c$ - tại điểm $A$. $\blacksquare$

Hình 2. Ba đường thẳng $a$, $b$ và $c$ cắt nhau tại ba điểm.

Định lý A6. Nếu đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ song song với đường thẳng $c$ thì $a$ và $c$ song song.

$\square$ Nếu bất kỳ hai dòng $a$, $b$ và $c$ nào trùng nhau thì tuyên bố đó là hiển nhiên. Nếu tất cả chúng đều khác biệt theo cặp và các đường $a$ và $c$ cắt nhau tại một điểm, chẳng hạn như $A$, thì đường thẳng $b$ không đi qua điểm $A$ (nếu không thì các đường $a$ và $b$ không song song). Khi đó, theo Tiên đề A2, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng $b$ đi qua điểm $A$, dẫn đến mâu thuẫn. $\blacksquare$

Việc chứng minh ba định lý đơn giản này, một mặt, là một ví dụ điển hình về cách thực hiện các chứng minh trong hình học của chúng ta, mặt khác, làm cơ sở cho các chứng minh phức tạp hơn về các định lý từ § 2. Các định lý A7 và A8 không được sử dụng thêm nữa, và mời độc giả tự chứng minh chúng.

Định lý A7. Mỗi đường thẳng của bất kỳ mặt phẳng affine hữu hạn nào đều chứa ít nhất hai điểm phân biệt.

Định lý A8. Tại bất kỳ điểm nào của mặt phẳng affine hữu hạn đều có ít nhất ba đường thẳng cắt nhau.

Chúng tôi so sánh Tiên đề A1-A3 với nền tảng của hình học affine hữu hạn - Định lý A4-A8 tạo thành “tầng đầu tiên” của nó.

§ 2. Thứ tự của mặt phẳng affine

Trong số 16 phi hành gia, bạn cần chọn 4 - phi hành đoàn của tàu vũ trụ. Việc huấn luyện được thực hiện với 4 đội, mỗi đội 4 người. Có thể thiết kế một lịch trình huấn luyện sao cho hai phi hành gia bất kỳ sẽ ở cùng một phi hành đoàn đúng một lần không?

Chúng ta có thể mong đợi rằng tất cả các đường thẳng trên mặt phẳng của chúng ta đều không thể phân biệt được với nhau; ít nhất đây là trường hợp của hình học Euclide, nơi có thể chồng một đường thẳng này lên một đường thẳng khác. Trong hình học affine hữu hạn, chúng ta không có khả năng như vậy. Vì vậy, chúng tôi sẽ cố gắng thực hiện những gì chúng tôi có trong tay: vẽ đường, tìm điểm giao nhau của các đường, v.v.

Định lý A9. Hai đường thẳng $e$ và $e'$ bất kỳ của một mặt phẳng affine hữu hạn đều chứa cùng số điểm.

$\square$ Mỗi đường thẳng $e$ và $e'$ cắt ít nhất hai đường thẳng $a$, $b$ và $c$ Định lý A5. Do đó, một trong ba đường này, chẳng hạn như $a$, cắt cả đường $e$ và đường $e'$. Bây giờ chúng ta hãy thiết lập, bằng cách sử dụng đường này $a$, sự tương ứng một-một giữa các điểm của đường $e$ và $e'$.

Để làm điều này, với mỗi điểm $A$ trên $e$, chúng ta liên kết điểm $A'$ trên $e'$, điểm này thu được từ giao điểm của $e$ với đường $a'$ (A2) đi qua $A$ và song song với $a$. Trong trường hợp này, các điểm khác nhau trên $e$ sẽ tương ứng với các điểm khác nhau trên $e'$ (A2); Rõ ràng là bất kỳ điểm nào $B'$ trên $e'$ sẽ tương ứng với một số điểm $B$ trên $e$ (xem Hình 3, a). $\blacksquare$

Sự định nghĩa. Bậc của mặt phẳng affine hữu hạn là số điểm trên bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng này.

Thứ tự là đặc tính số quan trọng nhất của mặt phẳng affine. Như chúng ta sẽ thấy, không khó để xây dựng một mặt phẳng có thứ tự bằng bất kỳ số nguyên tố nào được xác định trước; Việc xây dựng một mặt phẳng có bậc bằng lũy ​​thừa của một số nguyên tố sẽ khó hơn (và chúng ta sẽ không thể dành chỗ cho vấn đề này trong chuyên luận của mình). Biết rằng không có mặt phẳng cấp 6 và cũng không biết có mặt phẳng cấp 10 hay không.

Hình 3. a) Một tập hợp các đường thẳng song song. b) Số đường thẳng đi qua điểm $A$ bằng số lượng điểm trên đường thẳng $a$, cộng một.

Định lý mà bây giờ chúng ta chuyển sang, theo một nghĩa nào đó, là một ảnh ngược của A9: trong đó các điểm và mặt phẳng đã hoán đổi vị trí cho nhau. Các định lý như vậy được gọi là kép với nhau.

Định lý A10. Có cùng số đường thẳng đi qua bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng: đối với mặt phẳng có bậc $n$ thì số này là $n+1$.

$\square$ Cho $a$ là một đường thẳng tùy ý; và để điểm $A$ không thuộc đường thẳng $a$ (AZ). Khi đó, có một đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $a$ (A2), và bất kỳ đường thẳng nào khác đi qua điểm $A$ cắt đường thẳng $a$ tại một điểm duy nhất (A4) và các đường thẳng khác nhau cắt nhau (xem Hình 3, b) tại các điểm khác nhau (A1). Theo đó, số đường thẳng đi qua điểm $A$ bằng số điểm trên đường thẳng $a$, tức là bậc của hình học affine (xem A9), tăng thêm một. $\blacksquare$

Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện bài toán M364 («Kvant», 1976, số 1, xem thêm đoạn văn) tương đương với phát biểu: tồn tại một mặt phẳng affine hữu hạn cấp 4.

Định lý A11. Nếu thứ tự của mặt phẳng là $n$, thì bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng đều thuộc về một họ (nhóm) bao gồm $n$ các đường thẳng song song theo cặp khác nhau.

$\square$ Giả sử $e$ là một đường thẳng tùy ý thì một trong ba đường thẳng, ví dụ $a$, của Định lý A5 cắt đường thẳng $e$ tại điểm $E$. Rõ ràng là qua bất kỳ điểm nào trên đường thẳng $a$, ngoại trừ điểm $E$, sẽ có một đường thẳng song song với đường thẳng $e$ (A2) và ngược lại (Hình 4), bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng $e$ sẽ cắt đường thẳng $a$ tại một điểm nào đó (xem A6). Chúng ta đã thiết lập sự tương ứng một-một giữa các điểm của đường thẳng $a$ và các đường thẳng của bó đường thẳng song song mà đường thẳng $e$ thuộc về. $\blacksquare$

Hình 4. Một tập hợp các đường thẳng song song với $e$ được dựng từ các điểm của đường $a$.

Hình 5. Hai cây bút chì có các đường thẳng song song cắt nhau cho biết tất cả các điểm của mặt phẳng.

Định lý A12. Bất kỳ mặt phẳng thứ tự $n$ nào cũng chứa $n^2$ điểm và $n^2+n$ đường.

$\square$ Bất kỳ tập hợp đường thẳng nào song song với một đường thẳng đã cho sẽ chứa tất cả các điểm của mặt phẳng hữu hạn: mặt khác, theo Tiên đề A2, họ này có thể được bổ sung bằng một đường thẳng khác song song với đường thẳng đã cho và đi qua một điểm chưa bị bó đường đó “che phủ”. Nhưng trong bất kỳ họ nào như vậy đều có $n$ dòng (A11) và trên mỗi dòng có $n$ điểm (A9), tức là chỉ có $n^2$ điểm (Hình 5).

Bây giờ chúng ta hãy đếm số đường thẳng trên một mặt phẳng hữu hạn có bậc $n$. Vì qua mỗi điểm của mặt phẳng có $n+1$ đường thẳng (A10) và vì mỗi họ đường thẳng song song từng cặp có “đại diện” (A2) trong số $n+1$ đường thẳng này, nên tổng số họ như vậy là $n+1$ và mỗi họ chứa $n$ đường thẳng (A11) và mỗi đường thẳng rơi vào đúng một họ như vậy (A6). Do đó, tổng số đường thẳng trong mặt phẳng là $n(n+1)=n^2+n$. $\blacksquare$

§ 3. Về lợi ích của các cuộc duyệt binh khi được quan sát bởi một nhà toán học vĩ đại

Leonhard Euler đã nghĩ ra câu đố nổi tiếng của mình về 36 sĩ quan, dường như đang buồn chán tại một trong nhiều cuộc diễu hành của cung điện St. Petersburg. Đây là công thức của nó: trong số 36 sĩ quan có tỷ lệ bằng nhau về thương, rồng, kỵ binh, kỵ binh, kỵ binh bảo vệ và lính ném lựu đạn, và, ngoài ra, có tỷ lệ ngang nhau giữa các tướng lĩnh, đại tá, thiếu tá, đại úy, trung úy và thiếu úy, và trung đoàn của mỗi “đội quân” ​​được đại diện bởi các sĩ quan thuộc cả sáu cấp bậc. Có thể xếp các sĩ quan này thành ô vuông $6\times6$ sao cho ở cột, cấp bậc nào cũng có sĩ quan thuộc mọi trung đoàn, mọi cấp bậc? (Lời giải trong số này bài toán, khi cần xây dựng một hình vuông gồm 25 sĩ quan theo các quy tắc tương tự, được mô tả trên trang bìa của tạp chí.)

Người đọc tinh tường đã liên hệ câu đố của Euler với bài toán xây dựng một mặt phẳng affine hữu hạn cấp 6, trong đó các điểm là các sĩ quan và các đường thẳng hợp nhất các sĩ quan của cùng một trung đoàn hoặc cùng cấp bậc. Tất nhiên, người đọc đúng, nhưng với một lưu ý: chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu đối với một số $n$ ($n\gt2$) tồn tại một mặt phẳng affine hữu hạn cấp $n$, thì cũng tồn tại sự sắp xếp cần thiết của các sĩ quan $n^2$ trong một hình vuông $n\times n$ (đối với Euler $n=6$); tuy nhiên, điều ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ: đối với $n=14$ không có mặt phẳng cấp 14 (xem Định lý 2 bên dưới) và bài toán của Euler có lời giải.

Bài toán 3. Sĩ quan Mẫu 196 (14 sĩ quan thuộc tất cả 14 cấp bậc từ 14 trung đoàn) tại quảng trường Euler $14\times14$.

Theo Định lý A12, mặt phẳng trật tự $n$ chứa $n^2$ điểm - họ sẽ là sĩ quan của chúng ta. Từ họ các đường thẳng song song $n+1$ (xem A10 và A11), chúng ta chọn bốn họ khác nhau (đối với điều này, bất đẳng thức $n+1\ge4$, tức là $n\gt2$, phải được thỏa mãn). Để phân biệt giữa các họ dòng này, hãy gán một trong số chúng là số một, dòng còn lại là số hai, v.v. Chúng ta cũng đánh số các dòng trong mỗi họ trong số bốn họ này theo thứ tự ngẫu nhiên. Tất cả các điểm thuộc dòng đầu tiên của họ đầu tiên sẽ được gọi là hussars, dòng thứ hai của họ này - thương thủ, v.v. - tổng cộng $n$ tên của các trung đoàn. Chúng tôi sẽ gọi tất cả các điểm từ dòng đầu tiên của tướng thứ hai, dòng thứ hai của dòng họ này là đại tá, v.v. - tổng cộng là $n$ cấp bậc.

Bài toán 4. Chứng minh rằng trong số các kỵ binh có sĩ quan thuộc mọi cấp bậc; tương tự với thương, rồng, v.v.

Để xây dựng một hình vuông, chúng ta sẽ xem xét họ thứ ba gồm các đường thẳng song song và tạo thành cột đầu tiên của hình vuông từ các “sĩ quan” của dòng thứ nhất của họ thứ ba, cột thứ hai từ dòng thứ hai, v.v., và thứ tự các sĩ quan trong mỗi cột sẽ được xác định bởi các dòng của họ thứ tư, cuối cùng: dòng đầu tiên của hình vuông của chúng ta sẽ chứa các “người tham gia” của dòng đầu tiên của họ thứ tư, dòng thứ hai sẽ gồm các sĩ quan từ dòng thứ hai, v.v.

Bài toán 5. Chứng minh rằng phương pháp dựng hình vuông bàn tay đã mô tả sẽ dẫn đến mục tiêu.

§ 4. Đỏ, đen và xanh

Câu đố của Euler đưa chúng ta đến một trong những câu hỏi thú vị nhất trong lý thuyết hình học hữu hạn: mặt phẳng affine hữu hạn là gì? Đối với chúng tôi, những nhà hình học mini mới vào nghề, chỉ cần tìm đáp số cho một câu hỏi hẹp hơn là đủ: với $n$ nào có mặt phẳng affine hữu hạn có bậc $n$?

Vẫn chưa có lời giải đầy đủ của vấn đề này. Mọi điều được biết chỉ giới hạn ở hai định lý đáng chú ý.

Định lý 1. Nếu số $n$ là số nguyên tố hoặc lũy thừa của số nguyên tố thì tồn tại mặt phẳng cấp $n$.

Chúng ta sẽ chứng minh định lý này trong § 5 cho mọi số nguyên tố $n$.

Định lý 2. Nếu số $n$ khi chia cho $4$ cho phần dư $1$ hoặc $2$ và nếu khi phân tách số này thành thừa số nguyên tố thì ít nhất một số nguyên tố $p$ có dạng $p=4k+3,$ xảy ra ở bậc lẻ, thì không có mặt phẳng affine hữu hạn bậc $n$.

Số đầu tiên thỏa mãn điều kiện của Định lý 2 là số $n=6$: $6=4+2$ và $6=2\cdot3$. Vì vậy, mặt phẳng 36 điểm không tồn tại! (Trực giác vượt trội của Euler cho phép anh chọn trường hợp “nghi ngờ” duy nhất từ ​​một số lượng lớn các trường hợp gần gũi: $n^2=9$, 16, 25, 49, 64; khi mặt phẳng, theo Định lý 1, tồn tại an toàn).

Như người đọc đã biết, điều này vẫn chưa chứng minh được tính không thể giải được của câu đố Euler (ví dụ, xem bài toán 3). Tuy nhiên, nó thực sự không thể giải quyết được! Điều này đã được chứng minh vào năm 1900 bằng việc tìm kiếm tỉ mỉ tất cả các phương án có thể để xây dựng một hình vuông.

Định lý cứng 2 được chứng minh tương đối gần đây (1949); nó cho phép bạn loại trừ vô số số khỏi việc xem xét, ví dụ: các số 77 và 78. Hình 6 hiển thị một trăm số tự nhiên đầu tiên, được tô màu ba màu: màu xanh lam là những số mà theo Định lý 1, có một mặt phẳng có thứ tự thích hợp, màu đỏ là các số mà theo Định lý 2, mặt phẳng đó không tồn tại và đối với các số màu đen, cả khả năng thứ nhất và thứ hai vẫn còn mở.

Hình 6. Bảng số “tốt”, “xấu” và “chưa biểu hiện”.

Terra incognita của các số màu đen bắt đầu bằng số 10 (mặc dù $10=2\cdot4+2$, nhưng $10=2\cdot5$, và cả 2 và 5 khi chia cho 4 đều không có số dư là 3). Kể từ khi phát hiện ra hình học affine hữu hạn (đầu thế kỷ XX), đã có nhiều nỗ lực xây dựng một mặt phẳng có trật tự này, bao gồm cả những nỗ lực gần đây - với sự trợ giúp của các máy tính hiện đại nhất, nhưng tất cả đều kết thúc không thành công: không ai có thể xây dựng được hơn sáu họ đường thẳng song song với mặt phẳng đang được tìm kiếm, mặc dù theo (A12) phải có chính xác mười một họ như vậy!

§ 5. Phương pháp tọa độ

Đặt $n$ là một số nguyên lớn hơn một. Chúng ta sẽ cố gắng xây dựng một mặt phẳng affine hữu hạn có bậc $n$ bằng cách đưa vào các tọa độ trên tập hợp của chúng ta. Khi làm như vậy, chúng tôi bắt chước ví dụ tuyệt vời của Rene Descartes, người đã giảm một cách có hệ thống một cách chính xác hình học bài toán trên mặt phẳng Euclide thành các bài toán đại số tương ứng.

Vì vậy, hãy sắp xếp $n^2$ các điểm dưới dạng hình vuông $n\times n$ tại các nút của tờ giấy ca rô, như đã thực hiện trong Hình 7 cho $n=5$. Chúng ta hãy đánh số lại các hàng nút dọc và ngang với các số nguyên từ $0$ đến $n-1$ và gán cho mỗi điểm trên mặt phẳng cuối cùng trong tương lai một cặp tọa độ $(x,y)$, trong đó $y$ là số ngang và $x$ là số chiều dọc của hai hàng tại giao điểm mà điểm này nằm.

Hình 7. Đây là cách giới thiệu tọa độ trên mặt phẳng affine (ví dụ: điểm $A$ có tọa độ $(2,2)$). Ngược lại, từ một tập hợp $n^2$ điểm ($n=5$) cho bởi tọa độ, người ta có thể dựng một mặt phẳng affine.

Những đường thẳng nào được coi là đường thẳng của mặt phẳng? Tất nhiên, bất kỳ hàng nút ngang hoặc dọc nào. Ngoài ra, bất kỳ tập hợp (ít nhất hai) nút nào nằm trên cùng một đường Euclide trong hình vuông $n\times n$. Chúng ta chỉ đồng ý “trả lại” bất kỳ đường thẳng nào như trong Hình 8.

Hình 8

Bài toán 6. Chứng minh rằng sau một số lần “nhảy” nhất định như vậy, chúng ta sẽ lại về dòng ban đầu và số nút mà chúng ta sẽ “vượt qua” không vượt quá $n$.

Chúng ta sẽ coi tập hợp các nút mà chúng ta đã “đi ngang” dọc theo một đường “nhảy” là một đường thẳng.

Ý tưởng này thực sự cho phép chúng ta xây dựng một mặt phẳng có thứ tự $n$ khi $n$ là số nguyên tố. Chúng ta sẽ xem xét phiên bản số học của định nghĩa này về mặt phẳng, để người đọc thực hiện cẩn thận cách xây dựng hình học mà chúng ta đã phác thảo.

Bài toán 7. Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên tố), thì bằng cách này chúng ta có thể định nghĩa họ $\phi(n)+1$ của các đường thẳng song song, trong đó $\phi(n)$ là hàm Euler (!) ($\phi(n)$ bằng số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$).

Vậy coi $n=p$ là số nguyên tố. Rõ ràng, với bất kỳ số nguyên $m$ nào cũng có một số duy nhất từ ​​tập hợp các số $\mathrm F_p=\{0{,}~1{,}~2{,}~{\ldots}{,}~p-1\}$ bằng phần dư của phép chia $m$ cho $p$; hãy biểu thị số này bằng $\{m\}_p$. Bây giờ, đối với hai số bất kỳ $a$ và $b$ từ tập hợp $\mathrm F_p$, chúng ta xác định hai phép toán: $p$-cộng và $p$-nhân bằng cách đặt: $a\oplus_pb=\{a+b\}_p$, $a\otimes_pb=\{a\cdot b\}_p$, trong đó $a+b$ và $a\cdot b$ là tổng và tích thông thường của các số $a$ và $b$. Rõ ràng, đối với hai số bất kỳ $a$ và $b$ từ tập hợp $\mathrm F_p$, $p$-tổng và $p$-tích lại thuộc về $\mathrm F_p$. Rõ ràng không kém là các tính chất đơn giản của các phép toán này, được trình bày dưới đây trong Định lý A1-A9 (có lẽ, chỉ Định lý A8 là khó hơn các định lý khác). Người đọc siêng năng nên coi chúng như những bài tập.

Định lý A1. (Thuộc tính bằng 0.) $a\oplus_p0=0\oplus_pa=a$ với bất kỳ $a\in\mathrm F_p$.

Định lý A2. (Thuộc tính của đơn vị.) $a\otimes_p1=1\otimes_pa=a$ cho bất kỳ $a\in\mathrm F_p$.

Định lý A3. (Tính kết hợp của phép cộng.) $(a\oplus_pb)\oplus_pc=a\oplus_p(b\oplus_pc)$ với bất kỳ $a$, $b$, $c\in\mathrm F_p$.

Định lý A4. (Kết hợp phép nhân.) $(a\otimes_pb)\otimes_pc=a\otimes_p(b\otimes_pc)$ với bất kỳ $a$, $b$, $c\in\mathrm F_p$.

Định lý A5. (Phép cộng có tính chất giao hoán.) Với mọi $a$, $b\in\mathrm F_p$ $a\oplus_pb=b\oplus_pa$.

Định lý A6. (Giao hoán của phép nhân.) Đối với mọi $a$, $b\in\mathrm F_p$ $a\otimes_pb=b\otimes_pa$.

Định lý A7. (Tính khả nghịch của phép cộng.) Đối với hai phần tử bất kỳ $a$ và $b$ từ $\mathrm F_p$, có một phần tử duy nhất $c\in\mathrm F_p$ mà $a\oplus_pc=b$.

Định lý A8. (Tính khả nghịch của phép nhân.) Với mọi $a\in\mathrm F_p$ không bằng 0 và mọi $b\in\mathrm F_p$ đều có một phần tử duy nhất $c$ mà $a\otimes_pc=b$.

Định lý A9. (Phân phối hoặc luật phân phối.) Đối với ba phần tử bất kỳ $a$, $b$, $c$ của $\mathrm F_p$
$$a\otimes_p(b\oplus_pc)=(a\otimes_pb)\oplus_p(a\otimes_pc).$$

Sử dụng tập hợp $\mathrm F_p$ và các phép toán được giới thiệu trên đó, giờ đây chúng ta xác định một mặt phẳng affine hữu hạn có cấp $p$. Các điểm của mặt phẳng này sẽ được gọi là các cặp số $(x,y)$, trong đó $x$, $y\in\mathrm F_p$; Tổng cộng có $p^2$ cặp như vậy. Đường thẳng của mặt phẳng này sẽ là tập hợp bất kỳ các cặp như vậy có tọa độ thỏa mãn một số phương trình có dạng $x=s$, trong đó $s$ là một phần tử của tập hợp $\mathrm F_p$ hoặc một phương trình có dạng $y=a\otimes_px\oplus_pb$, trong đó cả hai số $a$, $b$ đều thuộc tập hợp $\mathrm F_p$.

Hình 9. Bảng cộng, nhân của trường hữu hạn bốn phần tử.

Chúng tôi cung cấp cho người đọc sự xác minh tính hợp lệ của các Tiên đề A1–A3 với định nghĩa về điểm và đường này. (Để chứng minh một mệnh đề tương đương, chẳng hạn với (A1), cần chỉ ra rằng hai điểm bất kỳ $A=(c,d)$ và $B=(e,j)$ chỉ có thể thỏa mãn một phương trình có dạng $x=s$ hoặc dạng $y=a\otimes_px\oplus_pb$; khi kiểm tra, ta nên sử dụng tính chất của các phép toán $\oplus_p$ và $\otimes_p$ được lập trong Định lý A1-A9.) Điều này sẽ hoàn thành việc chứng minh điều đó.) một phần của Định lý 1, liên quan đến các giá trị nguyên tố cấp $n$ của mặt phẳng.

Thật hữu ích khi hiểu rằng đối với cách xây dựng của chúng ta, điều thiết yếu không phải là bản chất số học của các số trong tập hợp $\mathrm F_p$, hay thậm chí là tính đơn giản của số $p$, mà chỉ là những tính chất của các phần tử của tập hợp được mô tả bởi Định lý A1-A9. Chúng ta có thể xem xét một tập hữu hạn tùy ý $\mathrm F_p$, miễn là nó xác định: a) hai phép toán, phép toán đầu tiên chúng ta sẽ gọi là phép cộng và phép nhân thứ hai, b) hai phần tử đặc biệt, phần tử đầu tiên chúng ta sẽ gọi (và biểu thị) số 0, và phần tử thứ hai, và cuối cùng, nếu chỉ các phép toán này và hai phần tử phân biệt này thỏa mãn các yêu cầu của Định lý A1-A9.

Tập hợp $\mathrm F$ có các thuộc tính như vậy được gọi là trường hữu hạn.

Dưới đây là ví dụ về trường hữu hạn có 4 phần tử: $\mathrm F_4=\{0,1,2,3\}$, các phép toán của nó được xác định theo các bảng trong Hình 9. Mặt phẳng affine hữu hạn tương ứng bậc 4 với lưới tọa độ “đỏ-xanh” được hiển thị trong Hình 10. Đồng thời, hình này đóng vai trò là giải pháp cho vấn đề đã được đề cập (epicgraph to § 2) bài toán khoảng 16 nhà du hành vũ trụ: mỗi họ đường song song là một phép chia trong số 16 phi hành gia cho 4 phi hành đoàn, mỗi dòng của một gia đình như vậy là một phi hành đoàn.

Hình 10. Mỗi họ song hành đều có màu sắc riêng; đối với ba họ (xanh, đen, chấm), mỗi hình thể hiện một đường thẳng.

Chúng tôi trình bày mà không cần chứng minh định lý chính về trường hữu hạn.

Định lý. Số $q$ của các phần tử của trường hữu hạn bất kỳ là lũy thừa của số nguyên tố $q=p^m$. Ngược lại, đối với bất kỳ $q=p^m$ nào, trong đó $p$ là số nguyên tố và $m$ là số tự nhiên tùy ý, sẽ có một trường hữu hạn duy nhất $\mathrm F_q$, với $q$ phần tử.

Tính đúng đắn của định lý này ngụ ý sự tồn tại của mặt phẳng affine hữu hạn bậc $q=p^m$.

§ 6. Lời kết

Không giống như một cuốn tiểu thuyết hay một vở kịch, việc tiết lộ sớm cốt truyện không phải là một sai sót trong nghiên cứu khoa học.

J. Galbraith

Vì vậy, câu hỏi về sự tồn tại của các mặt phẳng affine hữu hạn của một bậc nhất định đã trở nên rõ ràng hơn phần nào: có các giá trị bị cấm (số màu đỏ trong Hình 6), có các giá trị chưa được khám phá (số màu đen ở đó) và có các giá trị được phép - số nguyên tố và lũy thừa của chúng (số màu xanh), trong đó có cách xây dựng một mặt phẳng.

Nhưng đây có phải là cách duy nhất?! Có máy bay nào khác cho đơn hàng này không $q=p^m$?

Thật vậy, Định lý trường hữu hạn (§ 5) cấm sự tồn tại của các trường khác ngoài một số trường tiêu chuẩn $\mathrm F_q$ (chúng được gọi theo tên của Évariste Galois trường Galois); với trường đơn giản nhất trong số này - trường $\mathrm F_p$ - bạn thực sự đã gặp trên các trang «Kvant» - trong bài viết của A. Belsky và L. Sadovsky “Rings” («Kvant», 1974, Số 2 - xem bài toán 2 và 3 ở trang 7 của số này), nhưng không ngăn cản sự tồn tại của các mặt phẳng cùng thứ tự $q=p^m$, khác với những cái tiêu chuẩn. Có thể chỉ ra rằng tất cả các mặt phẳng có bậc không vượt quá số 8 chỉ có thể là mặt phẳng tiêu chuẩn và xây dựng được một mặt phẳng không chuẩn có bậc 9.

Chia tay độc giả, tác giả chuyên luận nhiệt liệt khuyên độc giả nên đọc hai cuốn sách tuyệt vời của E. Artin và M. Hall, trong đó chủ đề của chuyên luận được trình bày một cách thú vị không kém, mặc dù từ những góc độ khác nhau.