Lời giải bài toán M343—M350; F353—F357

29

đang cháy. Vẽ sơ đồ lắp đặt đã hoàn thành và giải thích các hiệu ứng quan sát được. (lớp 8)

F399. Ba quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau đặt trong chân không ở các đỉnh của một tam giác đều. Các quả bóng được nối lần lượt với một dây dẫn ở xa, điện thế được duy trì không đổi. Kết quả là quả bóng thứ nhất có điện tích $Q_1$, và quả bóng thứ hai có điện tích $Q_2$. Xác định điện tích của quả bóng thứ ba. (lớp 9)

F400. Hai hạt tích điện ban đầu giống hệt nhau về kích thước và hướng. Sau khi bật một trường tĩnh điện đều trong một thời gian, vectơ vận tốc của một trong các hạt quay $60^\circ$ và trị số của vận tốc giảm đi một nửa. vectơ vận tốc của hạt kia đã quay một góc $90^\circ$. Trị số vận tốc của hạt thứ hai thay đổi bao nhiêu lần? Xác định tỷ lệ điện tích trên khối lượng của hạt thứ hai nếu nó là $k_1$ đối với hạt thứ nhất. (lớp 9)

F401. Mạch hiển thị trong Hình 1 (Cầu Wheatstone) thường được sử dụng để đo điện trở chưa xác định $x$. Làm thế nào, bằng cách sử dụng một mạch tương tự, bạn có thể đo điện trở $R_G$ của chính điện kế $G$, nếu không có điện kế thứ hai? (lớp 10)

F402. Một thấu kính phân kỳ có tiêu cự $F = -0,6$ m được đặt sao cho một tiêu điểm của nó trùng với cực của một gương cầu lõm. Tiêu cự $F_1$ của gương là bao nhiêu nếu hệ thống được biết là tạo ra ảnh thật của một vật đặt ở một khoảng cách bất kỳ trước thấu kính? Ảnh được tạo ra bởi các tia truyền qua thấu kính lần thứ hai sau khi phản xạ từ gương. (lớp 10)

Lời giải bài toán

M343—M350; F353—F357

M343. Ở một số bang, các thành phố được kết nối bằng đường bộ. Đối với bất kỳ con đường nào dưới 500 km và từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ bằng đường bộ nào

Chúng ta sẽ biểu thị các thành phố bằng các chữ cái $A, B, C, D, \dots$. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng: 1) nếu đường dẫn nào đó $A$ - … - $B$ - … - $C$ - … là đường đi ngắn nhất giữa các thành phố $A$ và $C$, thì một phần của nó, chẳng hạn như từ $A$ đến $B$ là đường đi ngắn nhất giữa các thành phố tương ứng; 2) con đường ngắn nhất không đi dọc theo cùng một con đường hai lần.

30

dưới 500 km. Khi một con đường bị đóng cửa để sửa chữa, họ phát hiện ra rằng bạn có thể lái xe từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác dọc theo những con đường còn lại. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này có thể được thực hiện bằng cách lái xe không quá 1500 km.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

M344. Chuỗi của tất cả 64 ô vuông được bày trên bàn cờ. Có thể kiểm tra 13 đường trên bảng sao cho ở mỗi phần mà các đường này phân chia bảng không có nhiều hơn một điểm lệch? (Các đường thẳng không được đi qua chuỗi trường.)

M345. Trong dãy 1 9 7 5 2 3 … mỗi chữ số, bắt đầu từ hình vuông, bằng chữ số cuối cùng của tổng của chuỗi trước đó. Nó có xảy ra liên tiếp theo trình tự này không?

Bây giờ chúng ta giả sử rằng con đường nối thành phố A và B bị đóng; hãy biểu thị nó bằng AB. Hãy chia tất cả các thành phố thành hai nhóm: nhóm thứ nhất bao gồm thành phố A và những thành phố có đường đi ngắn nhất đến thành phố A không đi dọc theo đường AB và nhóm thứ hai bao gồm tất cả những thành phố còn lại. Chúng ta phải giả định rằng thành phố B nằm trong nhóm thứ hai - nếu không sẽ không có thành phố nào trong nhóm thứ hai; bởi vì nếu AB không phải là đường đi ngắn nhất từ ​​A và B thì không có đường đi ngắn nhất nào có thể đi dọc theo đường AB, nghĩa là đường AB khi đó là vô ích.

Giả sử M và N là thành phố, đường đi ngắn nhất giữa chúng hiện nay là hơn 500 km. Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất bằng nhau giữa M và N là dọc theo đường AB. Nhưng khi đó, con đường ngắn nhất đến thành phố A từ một trong những thành phố này là dọc theo đường AB, nhưng từ thành phố kia thì không (xem nhận xét ở đầu lời giải); do đó, thành phố M và N thuộc các nhóm khác nhau. Ngược lại, chúng ta thấy rằng hai thành phố bất kỳ thuộc cùng một nhóm có thể được nối với nhau bằng một con đường dài dưới 500 km.

Vì vẫn có thể đi từ thành phố A đến thành phố B nên có hai thành phố C và D sao cho C thuộc nhóm thứ nhất, D thuộc nhóm thứ hai và thành phố C được nối bằng đường đến D. Bây giờ đã rõ làm thế nào từ thành phố M bất kỳ của nhóm thứ nhất để đến bất kỳ thành phố N nào của nhóm thứ hai, quãng đường nhỏ hơn 1500 km: bạn cần đi từ M đầu tiên đến thành phố C (đây là quãng đường dưới 500 km, vì M và C thuộc cùng một nhóm), sau đó từ C đến D (chiều dài đường CD nhỏ hơn 500 km tùy theo điều kiện), và cuối cùng, từ thành phố D đến thành phố N (thành phố D và N thuộc cùng một nhóm nên đường đi từ D đến N lại nhỏ hơn 500 km) - xem Hình 1.

Ước tính 1500 km không thể cải thiện được. Thật vậy, nếu bốn thành phố A, B, C và D nằm như hình 2 (ABCD là hình thang sao cho khi kéo dài các cạnh của nó sẽ thu được một tam giác đều), thì bằng cách đóng đường AB, chúng ta thu được rằng độ dài đường đi ngắn nhất giữa A và B bằng (500 + 2a) km, trong đó a có thể tạo thành một góc gần bằng 500.

S. Eliseev

Hình 3 cho thấy có 14 lỗ thẳng (những đường thẳng này có màu đỏ trong hình) ngăn cách tất cả các tâm của bàn cờ.

Tuy nhiên, 13 thẳng là không đủ cho việc này.

Thật vậy, hãy xem xét một hình vuông đi qua chuỗi của tất cả 28 ô biên (trong Hình 4 nó là một hình vuông có các chấm đen). Rõ ràng là 13 đường thẳng cắt nhau không quá 26 điểm, và do đó được cắt thành không quá 26 phần, tức là hai tâm “viền” sẽ kết thúc thành một phần. Điều này có nghĩa là để tách 28 ranh giới và do đó tất cả các trung tâm, ít nhất 14 cú đánh là trực tiếp.

Yu. Lysov

Đối với lời giải bài toán điểm a) cần lưu ý rằng trong dãy 1975… sau mỗi bốn chữ số có bốn chữ số liên tiếp. Do đó, bốn 1 2 3 4 không thể xảy ra theo trình tự này.

Chúng tôi sẽ phân tích điểm 6) và c) chi tiết hơn.

Theo điều kiện của quy tắc này, cách xác định số tiếp theo dựa trên 4 số liền kề. Hãy thử

31

a) bốn số 1 2 3 4?
b) số phụ 1 9
7 5?
e) số 8 1 9 7?

làm ngược lại: sử dụng bốn số liền kề $a b c d$, xác định số $x$ đứng trước chúng. Vì chữ số $d$ theo sau bốn chữ số $x a b c$, nên chữ số $d$ bằng chữ số cuối cùng của tổng $x + a + b + c$, có nghĩa là $x + a + b + c = 10k + d$ đối với một số nguyên $k$. Do đó, $x = 10k + (d - a - b - c)$. Vì $x$ là một chữ số, nên biểu thức cuối cùng cho thấy $x$ bằng phần còn lại của số $(d - a - b - c)$ khi chia cho 10. Chia số $p$ cho số $q$ có số dư nghĩa là tìm các số $s$ và $r$ cũng như $p = sq + r$ và $0 \leqslant r < q$. (Lưu ý số dư khi chia số - 13 cho 10 là 7 chứ không phải - 3!) Số dư khi chia số này cho số khác được xác định duy nhất; Điều này có nghĩa là số $x$ cũng được xác định duy nhất.

Ví dụ, để xác định số đứng trước bốn 1 9 7 5, bạn cần lấy 5 trừ 1, 9, 7 và chia số kết quả (-12) với số dư cho 10. Số dư là 8; Điều này có nghĩa là số 8 đứng trước số 4 1 9 7 5.

Hình 4.

1 9 7 5 2 3 … x a b c d … y a b c d … (*)

Hình 5.

Bởi vì dưới dãy (*) lại là dãy tương tự, nhưng bị “dịch chuyển”, nên dưới bộ tứ thứ nhất $a b c d$ có dãy thứ hai (xem Hình 5). Theo khẳng định đã được chứng minh ở trên, các số ở cột đầu tiên nằm bên trái đường màu đỏ trùng nhau, tức là $x = y$. Tương tự, các số ở cột $x$ và $y$ trước đó trùng khớp, v.v. Như vậy, ở mỗi cột nằm bên trái đường màu đỏ đều có các số trùng khớp. Do đó, dưới bốn số 1 9 7 5 ở dãy “trên” có bốn số 1 9 7 5 ở dãy “dưới”. Và điều này có nghĩa là bốn số 1 9 7 5 gặp nhau theo trình tự 1 9 7 5 2 3… phụ.

Như đã trình bày ở trên, số 1 9 7 5 đứng trước số 1 9 7 5 theo dãy 1 9 7 5 2 3… lần thứ hai, số 8 sẽ xuất hiện. Điều này có nghĩa là số 8 1 9 7 cũng sẽ xuất hiện trong dãy đang xét.

G. Gurevich

♦

Chúng ta hãy đặt hình vuông lên tờ giấy ca rô từ cạnh ô bằng cạnh $1/4$ của hình vuông, như trong Hình 6 (các điểm $K$ và $L$ sẽ rơi vào các nút mạng!). Rõ ràng, các tam giác $KNL$ và $MLD$ bằng nhau, $\Rightarrow LDM \cong KLN$, và do đó $DLM + KLN = 90^\circ$. Do đó $DLK = 180^\circ - (DLM + KLN) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ là điều cần chứng minh.

L. Limanov

32

M347. Hai chiếc gốm trong một chiếc gốm nhúng. Người đầu tiên được cho hai số từ 1 đến 25, người thứ hai phải ăn hết chúng. Anh ta có thể đặt tên cho hai số bất kỳ từ 1 đến 25 và tìm ra ngay từ số đầu tiên có bao nhiêu số mà anh ta đặt tên - 0,1 hoặc 2 - trùng với những số đã cho. Trong số câu hỏi tối thiểu anh ta có thể xác định chắc chắn những con số đã cho?

| Đáp số | số đã cho |
| :— | :— |
| 1,1 | 2i,25 |
| 1,0 | 2i-1,23 |
| 0,1 | 2i-1,24 |
| 0,0 | 2i-1,25 |

Hình 7.

M348. Bảng 10x10 chứa các số theo thứ tự từ 1 đến 100. Sau đó, ở mỗi hàng và mỗi cột, có đúng một nửa số được ghi dấu trừ. Chứng minh rằng trong bảng kết quả tổng của tất cả các số bằng 0.

M349. Độ dài đường thẳng của một tam giác phải thỏa mãn điều kiện gì để tam giác đó đồng dạng?

Rất nhiều độc giả đã giải thành công các số cho trong 14 câu hỏi. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng luôn có thể xác định được các số đã cho trong không quá 13 câu hỏi.

Khi gọi tên các cặp (1,2), (3,4),…,(21,22), ta dùng 11 câu hỏi; Trong trường hợp này có thể xảy ra 4 trường hợp sau:

a) sau một số câu hỏi, đáp số “2” được nhận;
b) tất cả các câu hỏi nhận được đáp số “0”;
b) đối với một số câu hỏi - thứ i và thứ j - đáp số “1” đã được nhận;
d) chỉ nhận được một câu hỏi thứ i đáp số “1”, đối với các câu hỏi còn lại - “0” (việc xem xét thiếu chú ý trường hợp này khiến nhiều người tin rằng không thể đảm bảo việc xác định các số đã cho trong 13 câu hỏi).

Chúng tôi chỉ ra các hành động tiếp theo của người đoán trong từng trường hợp này.

a) Sau đáp số “2” các số đã cho được xác định.
b) Đoán được hai số từ các số 23,24,25. Chúng tôi đặt câu hỏi (23,24). Nếu đáp số “2”, thì những số này được cho, nếu đáp số “1”, thì bằng cách hỏi (23,22), chúng ta xác định được số nào - 23 hoặc 24 - được cho cùng với số 25.

b) Các số ở cặp thứ i là (2i-1) và 2i, ở cặp thứ j - (2j-1) và 2j. Chúng ta đặt câu hỏi (25.2i), (25.2j). Đáp số “1” cho câu hỏi đầu tiên (thứ mười hai) có nghĩa là cặp thứ i chứa số 2i; đáp số “0” biểu thị số (2i-1). Tương tự với câu hỏi thứ hai (thứ mười ba).

d) Các câu hỏi (2i,23), (2i,24) với tất cả các câu trả lời có thể xác định được các số đã cho. Trên thực tế, đáp số “2” cho câu hỏi đầu tiên hoặc thứ hai không yêu cầu sự cống hiến. Đối với các kết hợp khác đáp số, chúng tôi trả lời hai câu hỏi này bằng các số đã cho (dễ dàng kiểm tra rằng không thể có ý kiến ​​​​khác về những số được đưa ra)—xem. bảng trong Hình 7.

Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra rằng trong 13 câu hỏi, bạn luôn có thể xác định được các số đã cho; Đương nhiên, như sau từ lời giải, đôi khi số lượng câu hỏi ít hơn là đủ.

Để hoàn thành lời giải chúng ta sẽ chứng minh rằng không thể đảm bảo việc xác định các số đã cho trong 12 câu hỏi. Sau 11 câu hỏi, tất cả đáp số có thể là “0”; tuy nhiên, luôn có ba con số không có trong câu hỏi. Nếu câu hỏi thứ mười hai không chứa số nào trong số ba số này, thì đáp số “0” cho phép hỏi bất kỳ hai số nào trong số chúng. Nếu câu hỏi thứ mười hai bao gồm một hoặc hai trong số ba số này, thì sau đáp số “1” cũng không thể chỉ ra rõ ràng các số đã cho.

Yu. Lisov

◆ Chúng ta hãy trình bày bảng A này dưới dạng tổng của hai bảng B và C (Hình 8). Hãy sắp xếp các dấu trong mỗi bảng A, B và C theo cùng một cách - sao cho ở mỗi hàng và mỗi cột sẽ có số phút trừ cho một nửa số. Khi đó trong bảng kết quả B tổng các số sẽ bằng 0 trong mỗi cột và trong bảng kết quả C tổng các số sẽ bằng 0 trong mỗi cột. Do đó, tổng các số trong bảng B, C và do đó trong A=B+C sẽ bằng 0.

N. Vasiliev

◆ Chúng ta hãy biểu thị tam giác này bằng ABC, độ dài các cạnh BC, AC và AB của nó bằng a, b và c, giá trị điện trở của các cạnh của các góc này bằng A, B và C của các góc tương ứng. Giả sử rằng a<b<c (khi đó A<B<C). Hãy để h_a, h_b, h_c—

34

Nếu $a=c$ thì tam giác $ABC$ là đều: $a=b=c$ (vì $a \leq b \leq c$) và chúng ta thu được điều kiện này là trường hợp đặc biệt của điều kiện $2b^2=a^2+c^2$.

Dễ dàng thấy rằng nếu $2b^2=a^2+c^2$ thì điều kiện (2) cũng đúng. Do đó, nếu độ dài $a, b$ và $c$ ($a \leq b \leq c$) của tam giác $ABC$ liên hệ với nhau bởi các quan hệ $2b^2=a^2+c^2$, thì tam giác này giống như một tam giác gồm các đường trung tuyến của nó.

c) Một lần nữa chúng ta cần tìm ra cạnh nào của tam giác $ABC$ và tam giác từ các bissertrics của nó có thể bằng nhau (giả sử rằng các tam giác này bằng nhau). Ví dụ: chúng ta có $a \leq b \leq c$. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó sau đó $l_a \geq l_b \geq l_c$.

Hãy để chúng tôi biểu thị $l_a, l_b$ và $l_c$ dưới dạng $a, b$ và $c$. Theo định lý cosine và định lý bissertrix, góc của một tam giác bên trong nó có (Hình 10):

$$l_a^2 = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - 2c \frac{ac}{b+c} \cos B = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - \frac{2ac^2}{b+c} \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = bc \left[ 1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right].$$

Tương tự như vậy

$$l_b^2 = ac \left[ 1 - \frac{b^2}{(a+c)^2} \right] и l_c^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a+b)^2} \right].$$

Vì $a \leq b$, chúng ta nhận được $b+c \geq a+c$, tức là $\frac{a}{(b+c)^2} \leq \frac{b}{(a+c)^2}$ và $\frac{a^2b}{(b+c)^2} \leq \frac{ab^2}{(a+c)^2}$; do đó, $c \left[ b - \frac{a^2b}{(b+c)^2} \right] \geq c \left[ a - \frac{ab^2}{(a+c)^2} \right],$ tức là $l_a \geq l_b$. Bất đẳng thức $l_b \geq l_c$ được chứng minh theo cách tương tự.

Vì vậy, nếu tam giác $ABC$ ($a \leq b \leq c$) giống với tam giác trong bissertrix, thì các đẳng thức $l_c:l_b:l_a = a:b:c$ phải giữ, tức là $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ và $\frac{l_b}{l_a} = \frac{b}{c}$.

Hãy xem khi nào những điều kiện này được đáp ứng.

Nếu $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ thì $al_a = cl_c$. Nhưng mối quan hệ tương tự luôn đúng với độ cao: $ah_a = ch_c$ (xem điểm a). Điều này có nghĩa là (Hình 11), các tam giác vuông $AH_aL_a$ và $CH_cL_c$, trong đó $|AH_a| = h_a$, $|AL_a| = l_a$, $|CH_c| = h_c$, $|CL_c| = l_c$, giống nhau và các cạnh của chúng có độ dài $h_a, h_c$ và $i_a, l_c$ tương tự nhau. Do đó, các góc tạo bởi các cạnh $AH_a$, $AL_a$ và $CH_c$, $CL_c$ sẽ bằng: $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$. Hãy tính các góc này.

Hãy nhớ rằng chúng ta có $a \leq b \leq c$, tức là $A \leq B \leq C$. Từ điều kiện này suy ra $L_c \in [AH_c]$ và $L_a \in [BH_a]$.

Posmotu $H_a\widehat{AL_a} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - B$, $H_c\widehat{CL_c} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} - A$,

và vì $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$, nên $\frac{A}{2} + B = \frac{C}{2} + A$, tức là

36

M350. Quân tượng bắt đầu di chuyển từ ô vuông góc trắng của bàn cờ có kích thước $n \times m$ ($n$ và $m$ lớn hơn 1). Khi đến mép bảng, chúng ta xoay tượng theo một góc vuông. Khi đến góc, anh dừng lại.

a) Để làm gì $n$ và $m$ quân tượng sẽ đi vòng quanh tất cả các ô vuông màu trắng của bàn cờ?
b) Anh ấy sẽ điền bao nhiêu trường trên bảng $n \times m$?
Chúng ta hãy xem xét các bảng có kích thước $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$ làm ví dụ.

Hình 13.

Hình 14.

Hình 15.

a) Xét góc vuông tới $A_{00}A_{01}A_{11}A_{10}$ với các đỉnh ở tâm của trường góc (Hình 13) $|A_{00}A_{10}| = n - 1, |A_{00}A_{01}| = m - 1$. Hãy lấy một mạng và tạo nó bằng một đường thẳng (Hình 14). Ta hãy biểu thị các nút của mạng như vậy bằng $A_{ij}$, $i,j = 0,1,2,...$ (Nút $A_{ij}$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $A_{i0}$ song song ($A_{00}A_{01}$) với đường thẳng đi qua $A_{0j}$ song song ($A_{00}A_{10}$); điểm $A_{i0}(i = 1,2,...)$ nằm trên đường thẳng $A_{00}A_{10}$, điểm $A_{0j}(j = 1,2,...)$ - trên dòng $A_{00}A_{01}$ và $|A_{(i-1)}A_{i0}| = |A_{i0}A_{(i+1)}| = |A_{00}A_{10}|$, $|A_{(j-1)}A_{0j}| = |A_{0j}A_{(j+1)}| = |A_{00}A_{01}|$.

Chúng ta hãy vẽ một tia $d$ từ điểm $A_{00}$ nghiêng một góc $45^\circ$ đến đường thẳng $A_{00}A_{01}$ (đường phân giác của góc vuông của mạng tinh thể). Khi đó đường đi của quân tượng $A_{00}B_1B_2B_3...$ dọc theo bảng sẽ tương ứng với chuỗi các điểm $A_{00}, B_1, B_2', B_3',...$, tại đó tia $d$ giao nhau từ một bên của mạng tinh thể. Quân tượng dừng ở bước di chuyển $l$ (đánh vào góc) khi và chỉ nếu điểm $B'_l$ chạm vào một nút lưới.

Đặt $A_{pq}$ là nút mạng đầu tiên (không tính $A_{00}$) nằm trên tia $d$ (nó tương ứng với ô vuông góc của bảng mà quân tượng đạt tới). Vì $A_{00}A_{0q}A_{pq}A_{p0}$ là hình vuông nên $p(n-1) = q(m-1) = a$; (1) và số $a$ là bội số chung nhỏ nhất của $m-1$ và $n-1$ (hãy nhớ rằng nút $A_{pq}$ là nút đầu tiên).

Giữa các nút $A_{00}$ và $A_{pq}$ tia $d$ giao nhau với các cạnh của lưới $p+q$ lần và tương ứng với $p+q$ lần quân tượng chạm vào mép bàn cờ. Tại ranh giới bàn cờ có $2m+2n-4$ ô vuông - trắng và đen bằng nhau. Giám mục bắt được tất cả các ô vuông màu trắng của bàn cờ trong trường hợp này và chỉ trường hợp đó nếu anh ta bắt được tất cả các ô vuông màu trắng có viền, tức là nếu $p+q = m+n-2$.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a}{m-1} + \frac{a}{n-1} = (m-1)+(n-1)$, từ đó $a = (m-1)(n-1)$. Nhưng bội số chung nhỏ nhất của hai số bằng tích của chúng khi và chỉ khi chúng nguyên tố cùng nhau; và chúng ta nhận được đáp số cho điểm a) bài toán: quân tượng sẽ đi vòng quanh tất cả các ô vuông màu trắng của bảng khi và chỉ khi các số $m-1$ và $n-1$ nguyên tố cùng nhau.

6. Nếu mỗi ô vuông màu trắng “bên trong” của bảng mà quân tượng đi qua hai lần được tính hai lần, thì số ô vuông màu trắng mà quân tượng đi qua sẽ bằng $a+1$ (vì cạnh hình vuông $|A_{00}A_{0q}| = a$, $a$ là số nguyên, trên đường chéo $A_{00}A_{pq}$ nằm ở tâm $a+1$ của cạnh hình vuông là một). Để biết có bao nhiêu ô vuông màu trắng mà quân tượng thực sự sẽ đi xung quanh, bạn cần trừ đi $a+1$ số ô vuông màu trắng bên trong mà quân tượng sẽ đi qua hai lần. Hãy đếm xem có bao nhiêu trường như vậy.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $b$ ước chung lớn nhất của các số $m-1$ và $n-1$ (bây giờ chúng ta đã giả sử rằng các số $m-1$ và $n-1$ không nguyên tố cùng nhau; thì $b > 1$ và $(m-1) \times (n-1) = ab$). Hãy đặt $M = \frac{m-1}{b} + 1$, $N = \frac{n-1}{b} + 1$. Các số $M-1$ và $N-1$ là số nguyên tố cùng nhau, do đó, nếu chúng ta lấy một bảng có kích thước $N \times M$, thì quân tượng, bắt đầu từ hình vuông góc màu trắng, sẽ đi xung quanh tất cả các ô vuông màu trắng của nó. Primoguyns $A_{00}A_{10}A_{11}A_{01}$ và $A_{00}A_{10}'A_{11}'A_{01}'$ (Hình 15) tương tự nhau, do đó số lượng giao điểm của đường giám mục trên cả hai bảng (kích thước $n \times m$ và $N \times M$) là như nhau. Nhưng vì quân tượng đáp xuống tất cả các ô trắng ranh giới của bàn cờ $N \times M$ và đi dọc theo tất cả các đường chéo của nó, nên

38

2,1 kW Điện áp của bảy là 220 V, điện trở của dây nguồn là 1 ohm. Điện trở của bộ phận làm nóng của lò là bao nhiêu?

F355. Biểu đồ pV (Hình 17) cho thấy một quy trình khép kín được thực hiện với một mol saza. Các phần 1→2 và 3→4 của đồ thị là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ và các phần 2→3 và 4→1 là các đường đẳng nhiệt. Vẽ đồ thị của quá trình này trên sơ đồ TV. Tìm âm lượng $V_3$ nếu biết âm lượng $V_1$ và $V_2 = V_4 = V$.

Hình 17.

Hình 18.

Ở đây $U = 220$v là điện áp mạng, $I$ là dòng điện trong mạch.

Nhiệt lượng tỏa ra khi tải là $P = I^2R$. (2)

Loại bỏ dòng điện $I$ khỏi phương trình (1) và (2), chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $R$:

$$PR^2 + R(2rP - U^2) + Pr^2 = 0.$$

Từ phương trình này người ta có thể tìm trực tiếp $R_1 \approx 21$ ohm, $R_2 \approx 0,05$ ohm.

Ở một trong hai giá trị $R$, công suất sẽ được giải phóng ở tải 2,1 kW, nhưng ở $R=0,05$ ohm, công suất ở dây cấp nguồn sẽ lớn hơn $\frac{I^2r}{I^2R} = \frac{1}{0,05} = 20$ lần so với ở tải! Rõ ràng điều này là không thể chấp nhận được. Do đó, bạn cần chọn điện trở của bộ phận làm nóng $R=21$ ohm.

N. Slobodetsky

Để vẽ đồ thị của quá trình này trên sơ đồ sự phụ thuộc của nhiệt độ tuyệt đối vào thể tích, trước tiên chúng ta tìm sự phụ thuộc giữa $T$ và $V$ cho các quá trình 1→2 và 3→4. Trên giản đồ pV, đồ thị của các quá trình này là những đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên ta có thể viết:

đối với quy trình 1→2 $p=\alpha V$, trong đó $\alpha =$ const;
đối với quy trình 3→4 $p=\beta V$, trong đó $\beta =$ const ($\beta<\alpha$).

So sánh các phương trình của các quá trình này với phương trình trạng thái của khí lý tưởng $pV = vRT$ ($v = 1$ mol), chúng ta thu được điều đó trong quá trình 1→2 $T = \frac{\alpha}{vR} V^2$,

và trong quá trình 3→4 $T = \frac{\beta}{vR} V^2$.

Do đó, cả hai quá trình trên sơ đồ TV đều được mô tả bằng parabol (Hình 18) và parabol cho quá trình 1→2 lớn hơn, vì $\alpha > \beta$. Trạng thái 2 và 4 được đặc trưng bởi cùng thể tích $V_2=V_4=V$ (theo điều kiện), do đó, trên sơ đồ TV, chúng nằm trên cùng một đường thẳng đứng $V =$ const, giao nhau cả hai parabol. Các đường đẳng nhiệt 2→3 và 4→1 trên sơ đồ TV được mô tả dưới dạng các đoạn nằm ngang, bắt đầu theo chiều rộng tại các điểm 2 và 4 và theo chiều rộng cho đến khi chúng giao nhau với parabol liền kề tại các điểm 3 và 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm âm lượng $V_3$. Vì phần 2→3 và 4→1 là đường đẳng nhiệt nên

$$T_2 = T_3 \text{ и } T_1 = T_4.$$

Chúng ta hãy viết lại các đẳng thức này bằng cách sử dụng các biểu thức tính nhiệt độ mà chúng ta đã biết qua các thể tích tương ứng:

$$\frac{\alpha}{vR} V^2 = \frac{\beta}{vR} V_3^2$$

Và

$$\frac{\alpha}{vR} V_1^2 = \frac{\beta}{vR} V_2^2.$$

Chia đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai, ta tìm được

$$V_3 = \frac{V^2}{V_1}.$$

39

F356. Mặt trăng di chuyển trên bề mặt trái đất với tốc độ bao nhiêu khi xảy ra nhật thực toàn phần? Nhật thực được quan sát ở đường xích đạo. Để đơn giản, giả sử rằng khoảng cách của Mặt trăng đến Trái đất là $R_1 = 384\ 000$ km và chu kỳ quay quanh Trái đất là $T_1 = 28$ ngày. $cym = 2\ 419\ 200$ giây. Tương tự, chúng ta áp dụng rằng bán kính Trái đất là $R_2 = 6\ 400$ km và Trái đất thực hiện một vòng hoàn toàn quanh trục của nó trong thời gian $T_2 = 1$ ngày. $cym = 86\ 400$ giây. Khi đó tốc độ của Mặt Trăng trong quỹ đạo tròn của nó là

$$v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1} \approx 995\ m/sec,$$

Ánh sáng từ mặt trời

Hình 19.

và tốc độ tuyến tính của các điểm trên bề mặt trái đất

$$v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2} \approx 465\ m/sec,$$

Hơn nữa, đối với khu vực bề mặt Trái đất nơi quan sát thấy bóng của Mặt trăng, cả hai vận tốc đều hướng theo cùng một hướng (Hình 19).

Vì tia sáng của Mặt trời có thể coi là song song và kích thước của Mặt trăng nhỏ nên bóng của Mặt trăng di chuyển so với bề mặt Trái đất vào buổi trưa với tốc độ

$$v = v_1 - v_2 = 2\pi \left( \frac{R_1}{T_1} - \frac{R_2}{T_2} \right) \approx 530\ m/sec.$$

F357. Một khối lập phương khối lượng m được gắn vào hai lò xo có độ cứng $k_1$ và $k_2$ và chiều dài không giới hạn tương ứng là $l_1$ và $l_2$. Các đầu còn lại được gắn vào (Hình 20), sao cho khối lập phương

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ có gốc tọa độ tại điểm $O$ (trên bức tường bên trái) và có hướng dương của trục $OX$ sang bên phải. Đặt tọa độ của khối lập phương là $x$ ($0 < x < L$); do đó, nó nằm ở khoảng cách $x$ tính từ bức tường bên trái và ở khoảng cách $L - x$ tính từ bức tường bên phải (xem Hình 20).

Chúng ta biểu thị bằng $F_1$ hình chiếu của lực tác dụng lên khối lập phương từ lò xo bên trái. Theo định luật Hooke

$$F_1 = k_1(l_1 - x).$$

Hình 20.