Bài toán M386—M390; F398—F402

28

Vấn đề
M386—M390; F398—F402

M386. Một căn phòng hình vuông được ngăn bằng vách ngăn song song với các bức tường, khiến các phòng nhỏ hơn một chút. Độ dài cạnh của mỗi phòng là một số nguyên. Chứng minh rằng tổng độ dài của tất cả các phân vùng chia hết cho 4.

S. Fomin

M387*. Có số tự nhiên nào mà nếu cộng nó với chính nó ở bên phải thì sẽ được một số chính phương?

V. Kukushkin

M388 a) Có hữu hạn điểm được đánh dấu trên mặt phẳng. Chứng minh rằng trong số đó có một điểm có không quá ba điểm gần nhất (nghĩa là nằm ở khoảng cách ngắn nhất với nó; nói chung có thể có một số điểm như vậy).

6. Có một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, mỗi điểm có đúng ba điểm gần nhất trong tập hợp này không?

A. Karabeon

M389. Có thể chia một tờ giấy ca rô vô hạn thành các quân domino (mỗi quân domino bao phủ hai ô liền kề) sao cho mỗi đường thẳng chạy dọc theo đường lưới chỉ cắt làm đôi một số hữu hạn quân domino?

S. Fomin

M390*. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên $n$ mà tổng các chữ số của số $2^n$ lớn hơn tổng các chữ số của số $2^{n+1}$.

S. Konyazin

F398. Đã xảy ra lỗi khi kết nối bộ lọc ba đèn với hai công tắc với mạng. Kết quả là khi đóng một trong các công tắc, cả ba đèn đều cháy ở cường độ không hoàn toàn. Khi đóng công tắc còn lại, chỉ có một đèn sáng bình thường (hai đèn còn lại không sáng) và tác dụng tương tự cũng xảy ra khi đóng cả hai công tắc cùng một lúc. Khi các công tắc mở thì cả ba đèn đều không sáng.