Viện Công nghệ Moscow

62

4. Giải phương trình
   $$\log_{\cos x} \sin x (1 + \log_{\sin x} \tg x) = 1.$$
   Khoa Vật lý

Tùy chọn 3

1. Hai người đánh máy cùng nhau đánh được 167 trang. Cái đầu tiên làm việc không nghỉ, cái thứ hai nghỉ 1 tiếng. Đến khi giờ giải lao kết thúc, hóa ra cả hai đã đánh được 60 trang. Sau khi in được 72 trang, chiếc máy đầu tiên đã hoàn thành công việc của mình. Máy thứ hai hoàn thành công việc của mình sau bao lâu nếu biết rằng mỗi giờ nó in được nhiều hơn máy thứ nhất 3 trang?

2. Trong một quả cầu có bán kính $R$, dây $AB$ bằng $R$. Cho điểm $C$ và $D$ nằm trên bề mặt quả bóng và góc $ACB$ là góc vuông và góc $ADB$ bằng $60^\circ$. Tìm góc giữa các mặt phẳng $ACB$ và $ADB$.

3. Với mỗi giá trị thực của tham số $a$, hãy tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình
   $$x^3 + 2ax^2 - (a + 1)^2x = 2a(a + 1)^2.$$

4. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{11}{16}, \\ \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{5}{8}. \end{cases}$$
   Tùy chọn 4

5. Một người đi xe đạp đã đi quãng đường 60 km từ $A$ đến $B$ với tốc độ không đổi. Anh ta lái xe trở lại trong một giờ với cùng tốc độ, sau đó dừng lại trong 20 phút. Sau khi dừng lại, người ấy tiếp tục hành trình, vận tốc tăng thêm 4km/h. Vận tốc ban đầu là bao nhiêu nếu biết quãng đường về mất không ít thời gian hơn quãng đường từ $A$ đến $B$?

6. Qua tiếp tuyến của quả cầu có bán kính $R$, hai mặt phẳng được vẽ hợp một góc $45^\circ$ với nhau. Tìm bán kính các tiết diện của quả cầu của các mặt phẳng này, nếu biết chúng liên hệ với nhau là 1:2.

7. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 1} + x < 1, \\ x^2 + x - 2 < 0. \end{cases}$$

8. Với mỗi giá trị thực của tham số $a$ giải phương trình
   $$a(a - \sin x) \sin x - a(a - \cos x) \cos x = \cos x - \sin x.$$
   Vật lý
   Khoa cơ khí Matematiko

9. Một viên đạn có khối lượng $m$ bắn trúng một khối gỗ có khối lượng $M$ lơ lửng trên những sợi chỉ có chiều dài $L$ (con lắc đạn đạo) và mắc kẹt trong đó. Xác định góc $\alpha$ con lắc bị lệch nếu tốc độ viên đạn là $v$.

10. Hãy ước tính khối lượng của bầu khí quyển Trái đất nếu biết bán kính là $R_3 = 6400$ km.

11. Đầu máy điện di chuyển với tốc độ $72$ km/h, đồng thời phát triển sức mạnh trung bình $5 \cdot 10^4$ n. Tìm dòng điện chạy qua động cơ của đầu máy điện (không tính đến tổn hao) nếu chiều tại các cực của động cơ là 500 b.

12. Một tia sáng chiếu vào mặt phân cách giữa hai môi trường một góc $30^\circ$. Chỉ báo về sự tiền đô của môi trường đầu tiên, nếu biết rằng tia phản xạ và tia tiền búp vuông góc với nhau.

Khoa Vật lý

1. Một vật có khối lượng 1 kg trượt trên một mặt phẳng nghiêng dài 21 m tạo thành một góc $\alpha = 30^\circ$ với đường chân trời. Vận tốc của vật tại chân mặt phẳng nghiêng là 4,1 m/s. Tính số lượng dây dẫn được giải phóng trong quá trình ma sát của một vật trên mặt phẳng nếu vận tốc ban đầu của vật bằng không.

2. Đèn điện sợi đốt chứa đầy nitơ ở áp suất 600 mm rm. cm. Công suất đèn 500 cm³. Nước sẽ xâm nhập vào đèn nhanh như thế nào nếu đầu đèn bị vỡ dưới nước ở độ sâu 10 m tính từ bề mặt?

Khí quyển 震动 được coi là bằng 760 mm rm. cm. Mật độ của thủy ngân là 13,6 e/cm³.

3. Hình 3 thể hiện đường thẳng $LL$ và đường đi của tia $AA_1A_2$ đi qua đường thẳng đó. Xây dựng đường dẫn tia $BB_1$.

4. Các tia nắng chiếu theo một góc nhất định lên một tấm gương phẳng nằm ngang sẽ bị phản xạ và rơi xuống một màn hình thẳng đứng. Trên gương có một tấm mờ có chiều cao $h$. Xác định độ lớn của bóng trên màn.

E. Golubov, R. Emlin

Viện kỹ thuật Moscow

Viện Kỹ thuật Mátxcơva có các khoa: cơ khí-công nghệ (đào tạo kỹ sư quy trình); hóa chất-

63

Khoa Công nghệ (đào tạo kỹ sư hóa học và quy trình); Khoa Kỹ thuật và Kinh tế (sinh viên tốt nghiệp của khoa nhận bằng kỹ sư kinh tế kế toán); Khoa Nghệ thuật và Công nghệ. Viện có khoa dự bị ban ngày và khóa dự bị buổi tối.

Kể từ năm học 1974/75, tất cả các khóa học đầu tiên đều được giảng dạy theo chương trình mới, trong đó vai trò của toán học trong việc đào tạo kỹ sư đã được tăng lên đáng kể. Tại các khoa của MIT, ngoài khóa học tổng quát về toán cao cấp, họ còn dạy các khóa học về lý thuyết xác suất và thống kê toán học, lập trình toán học, cũng như một số môn đặc biệt, đặc biệt là nền tảng của lý thuyết toán học thực nghiệm. Việc đào tạo toán học tốt nhất được cung cấp tại các khoa kỹ thuật, kinh tế và cơ khí và công nghệ; một môn học về toán tính toán đã được giới thiệu tại khoa công nghệ hóa học. Đào tạo máy tính đã được triển khai ở tất cả các khoa kỹ thuật.

Ở các khoa khác nhau, yêu cầu về môn toán là khác nhau, điều này được tính đến khi biên soạn các phương án. Dưới đây là một số lựa chọn cho Kỳ thi tuyển sinh viết môn Toán năm 1975 của MIT và bài toán Kỳ thi vấn đáp Vật lý.

Matematika

Khoa Kỹ thuật và Kinh tế

1. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)^2}-1$$
   $$:\left[2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)^2}-1-\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{a}\right)\right].$$
2. Giải phương trình
   $$(1-\sin 2x)-5(\sin x-\cos x)+4=0.$$
3. Quyết định ưu thế
   $$2^2+\sin x+10\geq 3\cdot 2^1-\sin x.$$
4. Tổng bề mặt của hình nón gấp $n$ lần bề mặt của quả cầu nội tiếp ($n\geq 2$). Tìm góc nghiêng của đường sinh của hình nón với mặt phẳng đáy của nó.

Khoa Cơ khí và Công nghệ

1. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\frac{a+\sqrt{2+\sqrt{5}}.\sqrt{12}(9-4\sqrt{5})^3}{\sqrt{3}^2-\sqrt{5}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{3}a^2+\sqrt{3}a}+\sqrt{3}a.$$
2. Giải phương trình
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{tg\frac{x}{2}+ctg\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}}.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{0.3}\log_6\frac{x^2+x}{x+4}<0.$$
4. Trong một hình bình hành, tất cả các mặt của nó đều là hình thoi bằng nhau tính từ cạnh $a$ và các góc nhọn $a=60^\circ$. Tìm thể tích của phần song song này.

Khoa Công nghệ Hóa học

1. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\frac{1+\cos(2\alpha+630^\circ)+\sin(2\alpha+810^\circ)}{1-\cos(2\alpha-630^\circ)+\sin(2\alpha+630^\circ)}.$$
2. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1.$$
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{\log_x\sqrt{5x}}=-\log_x5.$$
4. Góc đỉnh trong phần trục của hình nón là 2β và chu vi của phần trục là 2p. Xác định tổng bề mặt của hình nón.

Vật lý

1. Thể tích của bọt khí khi nổi trên mặt hồ tăng gấp 3 lần. Độ sâu của hồ là bao nhiêu ($\rho=10^3\ k\Omega/m^3,g=9,8\ m/cek^2,p_0=1,01\cdot10^5\ h/m^2$).
2. Phi công ấn vào ghế máy bay ở điểm thấp nhất của vòng Nesterov với một lực 7200 N. Khối lượng của phi công là 80 kg, bán kính của vòng lặp là 250 m. Xác định tốc độ của máy bay.
3. Được biết, Trái đất tạo ra một điện trường hướng về bề mặt với khoảng cách ngắn $E=130\ b/m$. Xác định điện thế của bề mặt Trái Đất. Bán kính Trái đất là $R=6\ 400\ km$.
4. Đường dây truyền tải điện dài 100 km vận hành ở điện áp 200 kV. Xác định hiệu suất của đường dây, tức là tỷ số giữa điện áp ở tải và điện áp cung cấp cho đường dây. Đường dây được làm bằng cáp nhôm có tiết diện 150 mm2. Công suất truyền tải 30.000 kW.
5. Công suất đèn $P=100\ bt$ cung cấp độ chiếu sáng trung bình cho khu vực $E=150\ лk$. Xác định công suất phát sáng $\eta$ của đèn này nếu quang thông $k=50\%$ được cung cấp cho một bệ có diện tích $S=5\ m^2$.

A. Nazaremov