Về hệ thống số nhị phân

67

Xin chào Seryozha thân yêu!
Tôi đã nhận được thư của bạn vào ngày hôm trước. Nó thực sự hấp dẫn tôi. Bạn viết rằng bạn đã đọc kỹ ghi chú “Về các hệ thống đơn giản hóa” trong «Kvant» số 8 cho năm 1975 và đã giải quyết tất cả các bài toán được đề xuất ở đó. Làm sao người ta có thể nghi ngờ điều này khi ở cuối bức thư có viết: “Viết ở Moscow, vào Chủ nhật, ngày 112 tháng 9 năm 30400”? *). Ôi, bạn quả là một con người nguyên bản, Seryozha! Đúng vậy, tôi không hiểu lắm tại sao bạn lại ghi ngày và năm theo các hệ thống khác nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp này, đó là quyền của bạn.

Chà, bây giờ chúng ta hãy bắt tay vào công việc.

1. Như tôi đã hứa, hôm nay chúng ta sẽ quyết định về hệ thống quyền lực kép. Đây là hệ thống đơn giản hóa đơn giản nhất. Nó chỉ có hai chữ số - 0 và 1. Số 2, tức là cơ số của hệ thống, được viết là 10. Tất nhiên, bạn biết rất rõ điều này.

*) Ngày 14 tháng 9 năm 1975. Bức thư đầu tiên gửi Seryozha («Kvant», 1975, số 8, trang 59) nói về các hệ thống đơn giản hóa khác nhau. Như vậy, số 14, được viết theo hệ thập phân, tức là 1410 (chỉ số 10 là cơ số của hệ silicat) là số 112 trong hệ dấu hiệu ba ngôi; kể từ năm 1410 = 1,3² + 1,3 + 2,3⁰. Và số 197510 trong hệ năm chữ số được viết là 30400, vì 197510 = 3,5⁴ + 0,5³ + 4,5² + 0,5¹ + 0,5⁰.

Đây là cách viết các số trong mười số đầu tiên trong hệ thống kép: 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010.

Bảng cộng trong hệ thống này bao gồm một đẳng thức duy nhất: 1+1=10. (Các đẳng thức 0+0=0, 0+1=1+0=1 có thể được bỏ qua - xét cho cùng, việc thêm số 0 không làm thay đổi số!)

Còn bảng cửu chương thì sao? Nói đúng ra, không có bảng nhân trong hệ thống kép - bạn chỉ cần biết rằng bất kỳ số nào nhân với 0 đều bằng 0 và việc nhân với một không làm thay đổi số đó.

Các phép tính số học trên các số có nhiều chữ số trong hệ kép được thực hiện theo các quy tắc tương tự như trong hệ thập phân. Hãy xem xét các ví dụ cụ thể.

1. Hãy cộng các số 101101 và 10100. Hãy đặt số này dưới số kia, quan sát các chữ số:

• 101101
  10100

1+0=1; 0+0=0; 1+1=10, — 0 chúng ta viết, 1 trong tâm trí; hơn nữa, 1 + 0 = 1, và cũng là 1, nó sẽ là 10, - một lần nữa chúng ta viết 0, 1 - trong đầu; cuối cùng là 1, và 1 khác (những gì “trong tâm trí”) cho 10. Vì vậy, chúng ta nhận được:

• 101101
  10100
  1000001

68

Hãy kiểm tra tính đúng đắn của các tính toán của chúng tôi. Để làm điều này, chúng tôi viết những số này trong hệ thống thập phân. Chúng tôi có:
$$101101_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 45_{10},$$
$$10100_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 20_{10}.$$
Tổng của các số này phải bằng 65. Vậy nó là: $1000001_2 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 65_{10}.$

2. Bây giờ chúng ta nhân số 1101 với số 110. Chúng ta có:
   $$\begin{array}{c c c} 1101 & 110 \\ 11010 & 11010 \\ 1101 & 10011 \end{array}$$
   Kiểm tra điều này, cũng như các kết quả sau:
   $$\begin{array}{c c c} - & - & 1111010 \\ 1101 & 1010 & 110 \\ 1010 & 1010 & 1010 \end{array}$$
   chúng tôi theo dõi chính mình.

Ngoài ra, hãy thực hiện hành động và kiểm tra tính chính xác của đáp số nhận được trong các ví dụ sau:
10101+101,111110+1011,101101—111,10101·101,11011:11,1001110001:1111101.

2. Như bạn có thể thấy, hệ thống kép thực sự rất đơn giản. Đúng, so với số thập phân thì nó khá cồng kềnh, nhưng hóa ra nó có một số ưu điểm.

Hình 1 cho thấy một số con số được “viết bằng ngón tay”.

Hãy nghĩ xem bạn có thể “viết” được bao nhiêu số nếu bạn sử dụng các ngón tay của cả hai tay?

3. Tóm lại, Seryozha thân mến, tôi muốn kể cho bạn nghe về một tiêu điểm -

69

ce: nó được thể hiện thành công trong các lớp Toán của học sinh Trường Batumi số 7.

Hãy lấy khoảng 15 tên - ví dụ: trống, đây sẽ là tên của các hình hình học: moi-ka, đường thẳng, tia, đoạn, v.v. - xem Bảng 1.

Hãy biên soạn thêm bốn bảng nữa từ các tên trong Bảng 1 (Bảng 2-5).

“The Magician” cho xem bảng tiêu chí và yêu cầu các em nghĩ tên cho một hình. Sau đó, đứng cạnh các bàn 2-5, anh ta yêu cầu một trong những người phê bình cho biết bảng nào trong số những bảng này có tên mà anh ta nghĩ đến. Sau khi nhận được đáp số, anh ta ngay lập tức nêu tên con số dự định. Sau đó, anh ta quay sang nhà phê bình tiếp theo và một lần nữa nêu tên chính xác nhân vật dự định, v.v. Khán giả rất ngạc nhiên.

Có đáng để mang thai không? Bí quyết là giảm số từ nhị phân sang thập phân. Tôi chắc chắn rằng bạn đã crack nó rồi. Nếu không, hãy suy nghĩ về nó - và có thể bạn sẽ tìm thấy chìa khóa cho câu trả lời. (Nhân tiện, bạn có thể lấy nhiều tên hơn, ví dụ: 31, 63 hoặc 127, v.v. Nhưng sau đó bạn sẽ phải biên dịch không phải bốn mà theo đó là năm, sáu hoặc bảy bảng.)

Vâng, thế thôi. Tôi hy vọng bạn có mong muốn làm quen sâu hơn với các hệ thống số, bao gồm cả hệ đôi. Tôi có thể giới thiệu văn học. Đây là cuốn sách “Hệ thống số” của S. V. Fomin, M., 1975, và bài viết của R. S. Gutera “Hệ thống số và nền tảng số học của hoạt động của máy tính điện tử” (xem cuốn sách “Các chương bổ sung về quá trình toán học”, sách giáo khoa về môn học tự chọn dành cho học sinh lớp 7-8; mặc dù cuốn sách này được viết cho học sinh lớp 7-8, nhưng học sinh lớp 5-6 cũng có nhiều nội dung trong đó).

Tôi mong chờ thư của bạn.
Tôi chúc bạn thành công!
A. Bendukdze