Toán ứng dụng

41

Toán ứng dụng

1. Toán ứng dụng là gì?

Thật khó để chỉ ra một chủ đề có thể gây ra các cuộc tranh luận sôi nổi giữa những người liên quan đến toán học trong những năm gần đây. Trong khi những cuộc tranh luận này đang diễn ra, việc đào tạo mở rộng các chuyên gia trong lĩnh vực toán ứng dụng đã bắt đầu ở tất cả các nước công nghiệp hóa; đặc biệt, tại các viện của chúng tôi, chuyên ngành “toán ứng dụng” đang trở thành một trong những chuyên ngành phổ biến nhất. Đồng thời, nhiều chuyên gia nổi tiếng khẳng định không có toán ứng dụng nào cả. . .

Khu vực này không phải là gì? Và các chuyên gia trong lĩnh vực này (hoặc ngoài lĩnh vực) làm gì?

Matematika bắt đầu được áp dụng ngay cả trước khi nó trở thành một môn khoa học. Các khái niệm và mô hình số học và hình học Proctype đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Trong thời kỳ hoàng kim của thế giới Anh, toán học được chính thức hóa như một môn khoa học với phương pháp suy diễn đặc trưng, ​​​​theo đó mọi phát biểu của nó đều được suy luận theo những quy tắc logic chặt chẽ từ một số quy định ban đầu, được chấp nhận mà không cần chứng minh, như những tiên đề. Từ thời kỳ này việc xây dựng lâu đài vĩ đại của toán học bắt đầu.

Cùng với sự phát triển của toán học, ông đã mở rộng phạm vi ứng dụng của nó. Nhiều khái niệm và phương pháp toán học quan trọng đã được tạo riêng cho lời giải áp dụng bài toán và chỉ sau đó được phân tích, phát triển và khái quát hóa theo nghĩa “toán học thuần túy”. Một số ngành nhất định - cơ học thiên thể, kỹ thuật điện lý thuyết, lý thuyết cường độ, vật lý lý thuyết và một số ngành khác - hóa ra lại được “nhồi” toán học theo đúng nghĩa đen.

Tuy nhiên, cho đến những thập kỷ gần đây, những phần toán học tương đối phức tạp vẫn chỉ được sử dụng trong một số ít lĩnh vực khoa học và công nghệ truyền thống; và thậm chí ở đó tôi thường không đưa bài toán phức tạp lên mức thực tế lời giải.

Ở nước ta, máy tính điện tử số đã thay đổi hoàn toàn quan niệm về khả năng sử dụng toán học. Với sự trợ giúp của máy tính, nhiều bài toán ứng dụng bài toán được đặt ra trước đây, cũng như bài toán mới và các vấn đề liên quan đến các lĩnh vực ứng dụng truyền thống và các lĩnh vực mới mà toán học trước đây chưa tìm thấy ứng dụng, đã được giải quyết. Hóa ra, không chỉ những kết quả toán học cụ thể mà chính cấu trúc của tư duy toán học cũng mang lại những lợi ích vô giá trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và mọi hoạt động của con người. Một thời kỳ mới về chất trong sự phát triển của toán học đang bắt đầu - thời kỳ “toán học phổ quát”.

Và do đó, rất rõ ràng rằng toán học, trong quá trình ứng dụng của nó, có một số đặc điểm, đặc điểm liên quan đến các lĩnh vực ứng dụng khác nhau, đồng thời, đôi khi khác biệt đáng kể so với các đặc điểm truyền thống của toán học “thuần túy”. Nền tảng truyền thống của hợp tác logic

42

sự hoàn thiện, chiều sâu và tính tổng quát của các hình thành không phải lúc nào cũng đáp ứng được yêu cầu khắt khe của ứng dụng hiện đại - kịp thời, hiệu quả, tiết kiệm. Kết quả là các chuyên gia trong lĩnh vực toán học “thuần túy” thường không thể sử dụng toán học một cách hiệu quả. Có một nhu cầu thực sự về một loại hình chuyên môn mới.

Toán ứng dụng được công nhận có khả năng sáng tạo, nghiên cứu, phát triển và cải tiến các phương pháp áp dụng toán học vào các vấn đề phát sinh ngoài ranh giới của nó. Như vậy, với một cái nhìn khá rộng về toán học, toán ứng dụng là một bộ phận không thể thiếu của “toán học nói chung”. Đồng thời, không nên tưởng tượng một cách đơn giản rằng toán học có thể được phân chia rõ ràng thành “thuần túy” và “ứng dụng” hay toán ứng dụng là một môn toán như đại số hoặc hình học. Rất nhiều nhánh của toán học có thể được sử dụng, và một số lượng lớn các khái niệm và phương pháp toán học đều “thuần túy” và “ứng dụng” (hoặc “hầu hết thuần túy”, “chủ yếu được ứng dụng”, v.v.), nghĩa là chúng có thể được đưa vào cả nghiên cứu toán học thuần túy và nghiên cứu ứng dụng. Vì vậy, sẽ đúng hơn khi nói về toán học thuần túy và ứng dụng không phải với tư cách là các nhánh của toán học mà là các khía cạnh của nó, cách tiếp cận nó, tương ứng với các chủ đề tương ứng “toán học nói chung” và “toán học như một phương tiện”. Và hóa ra nhiều khái niệm, phương pháp, tuyên bố trong hai cách tiếp cận này không chỉ đóng vai trò khác nhau đáng kể mà đôi khi còn chứa đựng những nội dung khác nhau (xem đoạn 2)!

Mặc dù có rất ít ngành dựa trên ứng dụng toán học có hệ thống và bản thân các phương pháp ứng dụng này không quá phức tạp nhưng không cần nhiều chuyên ngành - các nhà toán học ứng dụng. Bản thân đại diện của các bộ môn này đã giải quyết các vấn đề toán học dễ, trong khi những vấn đề khó hơn và mới về cơ bản bài toán cũng được nghiên cứu bởi các nhà khoa học vĩ đại như W. Riemann, A. Poincaré, A. M. Lyapunov và những người khác (cả hai đều là những nhà toán học thuần túy và ứng dụng!). Tuy nhiên, trong thời kỳ toán học đại cương, khi áp dụng toán học bài toán ngày càng trở nên phức tạp và đa dạng, sự kết hợp các điều kiện như vậy là chưa đủ: các nhà khoa học vĩ đại không tự hào về mọi thứ bài toán!

Đồng thời, giờ đây chỉ có thể thực hiện được sự đóng góp đáng kể cho lời giải bài toán như vậy từ các lĩnh vực hoạt động đa dạng nhất của con người bởi các chuyên gia có tầm nhìn toán học rộng, những người thành thạo các phương pháp ứng dụng toán học cũng như những người có sở thích và kỹ năng liên quan. Đây là những nhà toán học ứng dụng. Tùy thuộc vào tính khí và sức lực của họ, họ có thể chuyên về một lĩnh vực ứng dụng toán học cụ thể, hoặc chủ yếu là toán học, họ chuyển từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác; có thể làm việc như một phần của nhóm hoặc độc lập.

Và cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng, mặc dù có lịch sử hàng thế kỷ về ứng dụng toán học và kinh nghiệm rộng lớn về ứng dụng đó vào các vấn đề cụ thể, việc nghiên cứu các nguyên tắc và phương pháp chung của ứng dụng này chỉ mới bắt đầu. Có lẽ một số độc giả của chúng tôi sẽ tham gia vào việc nghiên cứu, hệ thống hóa và cải tiến các ứng dụng và phương pháp này, tức là hình thành ngành học của riêng họ - toán ứng dụng tổng quát.

2. Đặc điểm của toán học ứng dụng là gì?

Bây giờ nói về toán học thuần túy và toán học ứng dụng, một mặt chúng ta sẽ muốn nói đến “học thuật”.

43

toán học được nghiên cứu tại khoa toán của các trường đại học và hoàn toàn dựa trên phương pháp giáo dục; và mặt khác, toán học dưới chiêu bài mà nó tiếp thu được trong quá trình ứng dụng.

Đương nhiên, nội dung của nhiều khái niệm, phát biểu, phương pháp trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng là giống nhau hoặc gần giống nhau. (Một ví dụ là định lý Pythagore.) Tuy nhiên, bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào những trường hợp không đúng như vậy.

a) Sự tồn tại của lời giải

Câu hỏi “cái này bài toán có lời giải không?” không đơn giản như thoạt nhìn; mặt khác, các nhà toán học “thuần túy” và “ứng dụng” đưa ra những điều trái ngược nhau với nó đáp số. Không đi sâu vào vấn đề vật lý và logic, chúng ta hãy minh họa những gì đã được nói bằng ví dụ sau.

Sinh viên Mỹ đã phát minh ra trò chơi lục giác. Hai người chơi chơi trên một bàn cờ bốn mặt làm bằng các hình lục giác đều (ví dụ: sàn lát gạch có thể được sử dụng làm bàn cờ) với những người chơi có hai màu: “đen” và “sọc”. Thông thường kích thước của bảng là hình lục giác 11x11 - xem hình. Hai mặt đối diện của bàn cờ được tuyên bố là “đen”, hai mặt còn lại là “sọc”. Người chơi lần lượt xếp các ô hình lục giác của mình: một ô “đen”, ô còn lại là “sọc” và ngày tháng có thể được phân loại vào bất kỳ ô trống nào. Mỗi người chơi được chỉ định một cặp mặt của bàn cờ - cùng màu với quân chip của mình. Mục tiêu của mỗi người chơi là kết nối các bên có chip của mình một cách mạch lạc.

Điều tự nhiên là đặt ra câu hỏi: liệu có chiến lược giành chiến thắng cho người chơi thứ nhất hoặc thứ hai (“chiến lược” bao gồm gợi ý nước đi ở bất kỳ vị trí nào đã được tạo) không? Câu hỏi này đã được trả lời bởi đáp số nhà toán học nổi tiếng người Mỹ J. Nash: ông đã chứng minh rằng có một chiến lược chiến thắng dành cho người chơi đầu tiên (bắt đầu) và không tồn tại cho người chơi thứ hai. Đây là sơ đồ chứng minh dí dỏm của anh ấy.

Trước hết, có thể chứng minh (chúng tôi để lại điều này cho người đọc) rằng trò chơi này nhất thiết phải kết thúc với chiến thắng của một trong những người chơi, tức là không có người nào khác ở đây. Xem xét điều này đã được biết, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của chiến lược giành chiến thắng cho người chơi đầu tiên sử dụng phương pháp “bằng mâu thuẫn”, tức là giả sử rằng không có chiến lược nào như vậy. Điều này có nghĩa là, cho dù người chơi đầu tiên có cố gắng đến đâu thì người chơi thứ hai vẫn có thể thoát khỏi thất bại, tức là do không thể chiến thắng. Nhưng sau đó người chơi thứ hai đã thắng

45

lý luận không thể chấp nhận được theo quan điểm toán học thuần túy, nhưng khi được áp dụng một cách thông minh sẽ dẫn đến kết quả thực tế đúng đắn. Lý luận như vậy là điển hình cho tất cả các ngành học (vật lý, hóa học, sinh học, y học, v.v.), ngoại trừ toán học thuần túy; vì vậy về mặt này, toán học ứng dụng dường như nằm ở điểm giao thoa của toán học với các bộ môn này.

Lý luận heuristic có thể bao gồm các phép tương tự, thí nghiệm số và vật lý, kết luận chung dựa trên phân tích các trường hợp điển hình (cái gọi là “quy nạp không đầy đủ”) và các phương pháp lý luận tương tự khác. Tất cả những phương pháp này trong toán học thuần túy không có bằng chứng rõ ràng, nhưng trong các bài toán ứng dụng, chúng khá hợp pháp và được sử dụng thường xuyên.

Trong lý luận toán học ứng dụng, các khái niệm toán học thường có đối tượng đằng sau chúng. Do đó, với lời giải toán học ứng dụng bài toán thường trở thành thông tin hữu ích không được chứa rõ ràng trong công thức bài toán, mà xuất phát từ ý nghĩa vật lý của nó.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, các phương pháp hành động hóa ra là phù hợp nhất và đôi khi là phương pháp duy nhất có thể thực hiện được. Vì vậy, một nhà toán học ứng dụng phải nắm vững mọi phương pháp suy luận.

Tại sao trong toán học ứng dụng không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được tất cả các cách xây dựng một cách nghiêm ngặt như trong toán học thuần túy? Thực tế là thường có thể đạt được lời giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp heuristic một cách chính xác trong những trường hợp khi số lượng phương pháp phân chia không dẫn đến mục tiêu hoặc yêu cầu các dịch vụ khổng lồ, không chính đáng. Ngoài ra, quá trình chuyển đổi từ việc triển khai một đối tượng sang mô hình toán học của nó (xem bên dưới về điều này) luôn mang tính phỏng đoán và chỉ được thực hiện với độ chính xác nhất định. Lời giải toán học bài toán chỉ là một phần của nghiên cứu hoàn chỉnh.

3. Mô hình toán học

Một nhà toán học ứng dụng luôn luôn xử lý các mô hình toán học. Mô hình có thể là các hình hình học, tập hợp số, các phương trình và hệ phương trình khác nhau, v.v., mô tả bất kỳ tính chất nào của việc thực hiện nghiên cứu của một đối tượng hoặc hiện tượng.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Chúng ta hãy quan tâm đến thể tích của chất lỏng, cùng với các mô hình toán học, có thể thu được đáp số:

$$V = \frac{\pi}{4} d^2 H - \text{без эксперимента, но и без учета несовершенства реализации страны, или поверхностного натяжения, и т. п.}$$

Tất nhiên, như chúng tôi đã nói, một mô hình toán học mô tả một đối tượng thực là hoàn toàn sai, như khi nói, mô hình hóa ra không đủ khả năng để hiện thực hóa đối tượng. Vẽ một mô hình toán học là một công việc rất có trách nhiệm. Một vật thể thực có thể có nhiều mô hình khác nhau, có độ mạnh không đồng đều; Và mô hình đầy đủ, đồng thời khá đơn giản của người Nhật thường mang lại tính kịch tính. Ngoài ra, với mô hình đang được nghiên cứu, chúng ta có thể làm được rất nhiều điều với những khó khăn toán học hoàn toàn không lường trước được.

Một nền giáo dục toán học tốt là chưa đủ đối với một nhà toán học ứng dụng nghiêm túc. Anh ta phải có cả sự uyên bác về toán học và trực giác để áp dụng chính xác những phương pháp mang lại hiệu quả hiệu quả nhất khi lời giải áp dụng cụ thể bài toán. Anh ấy nên

46

có thể phát triển các phương pháp này và tạo ra những phương pháp mới. Và, tất nhiên, để mang lại kết quả lời giải bằng cách sử dụng tất cả các phương tiện cần thiết cho việc này, bao gồm cả máy tính.

4. Làm thế nào để trở thành một nhà toán học ứng dụng?

Việc đào tạo các nhà toán ứng dụng ở nước ta được thực hiện tại các trường đại học và một số cơ sở giáo dục kỹ thuật cao cấp lớn. Đồng thời, có sự kết hợp nhất định giữa giáo dục đại học và giáo dục kỹ thuật, chủ yếu là do sự gia tăng đáng kể tiềm năng lý thuyết chung của sinh viên tốt nghiệp đại học chuyên ngành toán ứng dụng (chuyên ngành 0647).

Đồng thời, một số đặc điểm sẽ được bảo tồn trong các cơ sở giáo dục đại học - tập trung vào việc ứng dụng các phương pháp toán học vào các vấn đề thực tiễn phát sinh trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, giao thông, quản lý, v.v. Do đó, cùng với các môn toán mang tính chất lý thuyết và ứng dụng tổng quát (1700-2050 giờ), chương trình giảng dạy (tổng cộng 4700 giờ) của chuyên ngành 0647 bao gồm các môn học liên quan đến máy tính (300-600 giờ), hệ thống điều khiển tự động, lý thuyết điều khiển, vật lý, cơ khí, điện kỹ thuật và điện tử vô tuyến. Trong các học kỳ cuối, các khóa học liên quan đến chuyên môn được giảng dạy: phương pháp toán ứng dụng, phương pháp số, thuật toán hóa các quy trình điều khiển, lý thuyết hệ thống, mô hình hóa hệ thống và một số môn khác. Toán ứng dụng có ba chuyên ngành chính:

1. ứng dụng công nghệ máy tính vào lời giải bài toán của nền kinh tế quốc dân - công nghệ, kinh tế, quản lý, kế hoạch;
2. phần mềm ACS;
3. phần mềm máy tính.

Chuyên môn đầu tiên trong số này đang bắt đầu đóng vai trò chủ đạo, và đây là lý do tại sao. Chương trình công nghệ máy tính và việc tạo ra các máy tính ngày càng tiên tiến, phức tạp, nhanh hơn (lên tới 2·10⁸ thao tác mỗi giây) đi kèm với sự thống nhất rõ ràng: sự đa dạng của các loại máy ngày càng trở nên nhỏ hơn. Sự thống nhất của mô hình được quan sát thấy ngay cả trên phạm vi toàn cầu: là kết quả của thỏa thuận giữa các công ty riêng lẻ, các loại máy tính khác nhau sẽ được sử dụng chung trong các thí nghiệm.

Máy tính thế hệ thứ hai (dựa trên chất bán dẫn), như BESM-6, thay thế các máy chạy bằng đèn thế hệ đầu tiên vào những năm 60 (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là nhanh hơn 10³ lần so với tốc độ của máy móc thế hệ đầu tiên và nhanh hơn khoảng 10⁶ lần so với con người. Những chiếc cân máy tính trên DEX-6 này, thay thế các máy đèn thế hệ đầu tiên vào những năm 60 (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là nhanh hơn 10³ lần so với các máy thế hệ đầu tiên và nhanh hơn khoảng 10⁶ lần so với một người. Những chiếc cân máy tính trên DEX-6 này, ra đời vào những năm 60 để thay thế các máy đèn thế hệ đầu tiên (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là lớn hơn 10³ lần so với tốc độ của máy, cho phép bạn dịch tương ứng các thuật toán tương ứng lời giải bài toán sang ngôn ngữ bên trong của máy, mà nó có thể hiểu được. Người ta thường chấp nhận rằng một lập trình viên có kinh nghiệm làm việc với 3-4 lệnh mỗi ngày. Với công nghệ này, cần phải thực hiện công việc sơ bộ hàng trăm năm công sức, chẳng hạn như một máy BESM-6 trong một giờ. Một giải pháp đã được tìm ra bằng cách chuyển một phần đáng kể sức lao động của con người để tạo ra chương trình cho chính máy móc. Tuy nhiên, điều này không giải quyết được nhiều vấn đề; trong mọi trường hợp, đối với máy thế hệ thứ ba (trên các mạch giữa), các máy của thập niên 70 có tốc độ lên tới 2·10⁷ thao tác mỗi giây. Những vấn đề này đang có một nhân vật mới. Máy móc ngày càng trở nên “háu ăn” hơn: chúng yêu cầu bài toán với khối lượng khổng lồ, bài toán, được khoác lên mình lớp áo toán học

47

hình thức được chuẩn bị đặc biệt cho “bụng máy”. Do đó, nếu việc tạo ra máy thế hệ thứ hai đi kèm với việc đề cao tính chuyên môn hóa trong lĩnh vực xây dựng và cải thiện hỗ trợ toán học nội bộ, thì “âm sắc sống còn” của máy thế hệ thứ ba đòi hỏi sự hiện diện của rất nhiều người có khả năng chuẩn bị bài toán: đi sâu vào nội dung ngữ nghĩa của nó (theo nghĩa vật lý), xây dựng mô hình toán học, chọn phương pháp nghiên cứu, chuẩn bị thuật toán lời giải và sử dụng máy để thực hiện nó.

Đương nhiên, đây là một kế hoạch thô, nhưng thường thì điều này cũng không thể thực hiện được.

Thực tế là nhiều bài toán, đặc biệt là thuộc loại kinh tế, văn hóa xã hội, công cộng, phức tạp đến mức chúng không thể được hình thức hóa bằng toán học hiện đại. Nói cách khác, không thể xây dựng mô hình toán học của hiện tượng đang xem xét. Trong tình huống như vậy, sẽ có nhu cầu đặc biệt cấp thiết về sự kết hợp giữa các phương pháp tiếp cận chính thức và không chính thức, sự kết hợp giữa các phương pháp toán học và suy nghiệm, tính toán và trực giác. Con đường này dẫn đến khái niệm về một mô hình mô phỏng. Mô hình mô phỏng mô tả và mô phỏng quá trình đang được nghiên cứu; nó phục vụ cho việc phân tích toàn diện về nó, cho phép bạn thay đổi các thông số quy trình khác nhau và nghiên cứu hậu quả của những thay đổi này. Một số thành phần của mô hình mô phỏng có thể cho phép hình thức hóa, trong khi những thành phần khác thì không. Tuy nhiên, trong mọi trường hợp, nó được cho là tạo ra khả năng của một cỗ máy (đọc nhanh số lượng tùy chọn lớn hơn) và trực giác, trải nghiệm của con người. Mô hình mô phỏng là hướng quan trọng nhất trong việc cải tiến toán học ứng dụng. Bạn có thể học được nhiều điều về điều này trong một cuốn sách hấp dẫn.

N. N. Monseeva “Một nhà toán học đặt câu hỏi” (M., “Znanie”, 1974).

Vào cuối những năm 70, các máy thế hệ thứ năm hiện đang được phát triển sẽ tìm được ứng dụng. Rõ ràng, chúng tỏ ra “rất thông minh”, giúp đơn giản hóa cuộc đối thoại giữa con người và máy móc (không thể tránh khỏi khi nghiên cứu mô hình mô phỏng), sẽ đảm nhận nhiều chức năng được thực hiện bởi các chương trình thấp hơn và các chuyên gia hỗ trợ toán học nội bộ, đồng thời sẽ yêu cầu nhiều tài liệu để “phản ánh”. Đây là một trong những lý do khiến đại đa số các nhà toán ứng dụng hiện nay đang tập trung vào chuyên sâu sử dụng máy tính trong các bài toán của nền kinh tế quốc dân. Một lý do khác không kém phần quan trọng là việc toán học hóa các ngành khoa học, việc sử dụng ngày càng đa dạng và sâu sắc các phương pháp toán học trong cả những lĩnh vực kiến ​​thức truyền thống và hoàn toàn mới.

Bạn có thể thành thạo toán ứng dụng đặc biệt bằng cách theo học tại nhiều trường đại học trong nước. Những trường ở giữa là các trường đại học nổi tiếng: MINT, MINHIGP, MAI, MIEM, MEPhI, MIPT, Altai, Tula, Donetsk, Viện Bách khoa Lvov, Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Dnepropetrovsk, Viện Hàng không Kazan, Viện Kỹ thuật Vô tuyến Kharkov và một số trường khác.

Ngoài ra, còn có chuyên ngành “toán ứng dụng” trong các cơ sở giáo dục chuyên ngành cấp trung học: tại Kỹ thuật Kỹ thuật Toán học Moscow (trong kỹ thuật này chỉ có Muscovite), trong Kỹ thuật Kỹ thuật Cơ khí Leningrad (kỹ thuật này cũng không có ký túc xá), tại Đại học Bách khoa Minsk, tại Kỹ thuật Cơ khí và Kim loại Kiev, trong Kỹ thuật Tự động hóa và Telehanka của Dnepropetrovsk, Kỹ thuật Kinh tế và Công nghiệp Dnepropetrovsk.

48

tôi, tại Kỹ thuật Kỹ thuật Điện tử Rostov, tại Đại học Bách khoa Kirovkan, tại Kỹ thuật Cơ khí Năng lượng Kovrovsky, tại khoa kỹ thuật cấp hai của Học viện Bách khoa Tula.

Mọi học sinh tốt nghiệp trung học mong muốn được đào tạo chuyên sâu về toán học, đồng thời khám phá chuyên môn của mình có thể đăng ký vào một trong những trường kỹ thuật này. [Đặc biệt quan tâm là chuyên ngành mới được mở: “Xử lý thông tin trong hệ thống điều khiển tự động”. Ở chuyên ngành này, môn toán tổng quát được phân bổ (đối với học sinh sau lớp 8) trên 500 giờ giảng dạy; điều này bao gồm các yếu tố logic toán học, lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Trong chu trình chung, toán tính toán được nghiên cứu với số lượng 100 giờ học, các kiến ​​thức cơ bản về lập trình và ngôn ngữ thuật toán với số lượng 128 giờ học. Việc tuyển dụng chuyên ngành “Xử lý thông tin trong hệ thống điều khiển tự động” sẽ được thực hiện tại Trường Công nghệ Kinh tế và Công nghiệp Leningrad.]

5. Ở trường phải làm gì?

Tất nhiên, toán học bậc thầy hoặc toán học ứng dụng - đây chủ yếu là toán học. Bạn cần nắm vững phương pháp lập luận thực tế, học cách đưa ra các định nghĩa chính xác, rèn luyện lời giải bài toán thuộc nhiều loại khác nhau, đặc biệt là bài toán, phát triển tư duy logic và thuật toán.

Đừng bỏ qua các nhiệm vụ “thử nghiệm”, lời giải trong số đó đòi hỏi phải có thành phần quản lý đại diện. Thật không may, các khóa học toán học ở trường bài toán, theo quy luật, có rất ít điểm chung với các vấn đề mà một nhà toán học ứng dụng gặp phải. Tuy nhiên, thói quen quan trọng là đừng ngại ngùng trước những văn bản phi toán học!

Để yêu thích các phép tính, hãy bắt đầu với những ước tính sơ bộ nhất về thứ tự độ lớn và các phép tính thô nhất và kết thúc bằng những phép tính chính xác nhất bằng cách sử dụng tất cả các phương pháp mà bạn đã biết và các công cụ tính toán có sẵn.

Thạc sĩ vật lý và một số phần của các ngành khác (bao gồm cả những môn không có trong chương trình giảng dạy ở trường) trong đó toán học được sử dụng. Học cách suy nghĩ bằng ngôn ngữ “vật lý”, tiến hành lập luận không chính thức, học cách sử dụng các định nghĩa heuristic, tiến hành các chứng minh heuristic điển hình của các ngành ứng dụng.

Để bắt đầu, chúng tôi khuyên bạn nên giải một vài bài toán và một danh sách các cuốn sách và bài báo hữu ích.

Bài tập

1. Chứng minh rằng không có gì xảy ra trong trò chơi hex.
2. Chứng minh ước tính tổng số S chiến lược cho trò chơi lục giác đầu tiên:
   $$121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot \dots \cdot 101^{102} < S < 121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot 3^4.$$
3. So sánh S với số phần tử có thể có của các bộ phận trong Vũ trụ.
4. Trên bức tường của câu lạc bộ “Sừng và Móng guốc” của tờ Interturnaya Gazeta xuất hiện một thông báo cho biết người đứng đầu đội cứu hỏa thang máy Kama, Matvey Tolstobryukhov, đã tính toán rằng sức chứa của cơ sở lưu trữ này là 839522634175293648209 hạt lúa mì. Liệt kê hai lỗi tổng thể trong phép tính này.
5. Rút ra công thức gần đúng đơn giản để tăng độ dài của ngày (so với ngày 22 tháng 12) vào ngày N tháng 1, tùy thuộc vào N.
6. Trục của hai hình trụ tròn có bán kính R₀ và R cắt nhau vuông góc. Thu được các công thức gần đúng cho thể tích V của vật thu được với R₀=const và R→0 hoặc R→∞.

Văn học

1. Toán học trong thế giới hiện đại, “Mir”, Moscow, 1967.
2. I. I. BLEXMAN, A. D. Myshkis, Ya. G. Panovko, Toán ứng dụng. Chủ đề, logic, đặc điểm của các phương pháp tiếp cận, “Naukova Dumka”, Kyiv, 1976.
3. G. Steinguz, Bài toán và những suy ngẫm, “Thế giới”, Moscow, 1974.
4. L. Sadovsky, Toán ứng dụng - một chuyên ngành mới của khoa học kỹ thuật, «Kvant», 1974, số 6.