Задачи наших читателей

8

Рис. 4.

тром мягости является точка $O_i$ (если таких центров мягости несколько, то выбирается тот из них, который имеет наименьший номер). Пусть после отбрасывания пустых групп (приведите пример, когда среди групп $G_1$, …, $G_l$ появляются пустые!) осталось $p$ групп ($p \leq l$). Переумерровав их произвольным образом, получим новое разбиение $G_1^1, \dots, G_p^1$.

Найдя центры мягости $O_1^1, \dots, O_p^1$ мощ эмх групп $u$ повторив муже пройдуру, построим разбиение $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ и $m. \delta$. Докажите, что, начиная с некоторого шага, разбиения совпадают.

Для формирования следующей задачи удобно ввести обозначение. Пусть на плоскости заданы точка $A$ и произвольное подмножество $G$ множество точки $A_1, \dots, A_N$. Положим $I(A, G) = |AA_i|^2 + \dots + |AA_j|^2$ (сумма берется по точкам из $G$).

Задача 5. Пусть, как и задаче 4, задано начальное разбиение множества точки $A_1, \dots, A_N$ на $l$ непустых групп $G_1, \dots, G_l$. Опишем правило построения нового разбиения $G_1^1, \dots, G_p^1$ мощ эмх групп $u$ повторив муже пройдуру, построим разбиение $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ и $m. \delta$. Докажите, что, начиная с некоторого шага, разбиения совпадают.

Преимущество алгоритмов, описанных в задачах 4 и 5, по сравнению с алгоритмом «Форель» состоит в том, что эти алгоритмы быстро сходятся (то есть построение окончательного разбиения требует меньшего времени работы вычислительной машины). Однако при неудачном выборе начального разбиения эти алгоритмы могут привести к не очень естественному конечному разбиению на группы. Однако из таких примеров приведен на рисунке 4.

Задачи наших читателей

1. Число $a$ представили в виде $a = m_1 + n_1 = m_2 + n_2$. Докажите, что тогда $3m_1n_1 \leq m_2^2 + m_2n_2 + n_2^2$.
   В. Федоискин (г. Шекино)

2. Дан треугольник $ABC$, $H$ — точка пересечения его высот, $M$ — точка пересечения медиан. Докажите, что

$$\frac{|BM|}{\sin \widehat{AMC}} = \frac{|AM|}{\sin \widehat{BMC}} = \frac{|CM|}{\sin \widehat{AMB}};$$

$$\frac{|BH|}{\cos \widehat{AHC}} = \frac{|AH|}{\cos \widehat{BHC}} = \frac{|CH|}{\cos \widehat{AHB}}$$

(если все эти дроби определены).

A. Ягубьянц (г. Ростов-на-Дону)

3. Докажите, что сумма $2k (k > 1)$

a) нечетных последовательных стеленей числа 7 делится на 350;

6. четных последовательных стеленей числа 7 делится на 2450.

H. Михалкович (Минская обл.)

4. Обозначим через $q(n)$ число нулей, которые оканчиваются число $n!$, а через $s(n)$ — сумму цифр числа $n$ в пятеричной системе счисления. Докажите, что $n - s(n) = 4q(n)$.

B. Стовба (г. Зеленоград)