Когда критических точек слишком много

24

В. Григоренко

Когда
критических точек
слишком много

В п. 55 пособия «Алгебра и начала анализа 9» указывается правильное исследование критической точки на экстремум (теоремы 1, 2). Всегда ли это правильно?

О неожиданных ситуациях, в которых им нельзя пользоваться, расссказывается в этой статье.

Напомним, что внутренняя точка $x_0$ обладает определенной функцией $f$ называется критической для этой функции, если $f'(x_0) = 0$ или $f'(x_0)$ не существует.

Предположим (для простоты изложения), что функция $f$ неверывна в точке $x_0$. (Из этого предположения автоматически следует, что точка $x_0$ является внутренней точкой области определения функции $f$.)

Согласно достаточно условию максимума («Алгебра и начала анализа 9», п. 55, теорема 2), если существует максимум $|x_0| - \delta$; $x_0 + \delta$ [мочки $x_0$, влевой полукрестности $|x_0| - \delta$; $x_0$ [коморой $f'(x) > 0$ и правой полукрестности $|x_0|$; $x_0 + \delta$ [коморой $f'(x) < 0$, то точки $x_0$ является мощным функцией $f$.

Естественно спросят: верно ли обратное? Уточним наш вопрос: пустя функция $f$ дифференцируем в некоторой окрестности точки $x_0$ и пустя эта точка является точкой максимума функции $f$; обязаτεльно ли у точки $x_0$ существует такая окрестность, в которой производная «меняет знак с плоска на минус»? Грубо говоря, является ли достаточно условие максимума необходимым?

Оказывается, ответ на эти вопросы отрицательный.

Пример 1. Функция

$$f(x) = \begin{cases} 2 - x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right), & если x \neq 0 \\ 2, & если x = 0 \end{cases}$$

дифференцируем на всей числовой прямой $R$, точка 0 является мощным максимумом функции $f$ и в каждой из получективностей любой окрестности ]—δ; δ[мочки 0 производная $f'$ меняет знак (рис. 1*)).

Действительно, функция $f$, очевидно, дифференцируем в любой точке $x_0 \neq 0$; она дифференцируем также в точке 0, так как

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \left[ -h \left(2 + \sin \frac{1}{h}\right) \right] = 0.$$

(Посленее равенство вытекает из того, что $\lim_{h \to 0} (-h) = 0$, а функция $y = 2 + \sin \frac{1}{h}$ ограничена на $R$, т. е. в силу аналoga теоремы 2 из п. 28 пособия «Алгебра и начала анализа 9».) Точка 0 является мощным максимумом $f$, так как при $x \neq 0$, очевидно, $f(x) < f(0)$. Наконец, в каждой из интервалов ]—δ; 0 [ и ]0; δ[ производная

$$f'(x) = -4x - 2x \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$$

*) На всех рисунках масштабы по осям — разные. В окрестности нуля рисунки утрачивают необходимую степень подробности и становятся неверными.

25

меняет знак (объяснение «на пальцах»: при $x \to 0$ слагаемые $-4x$ и $-2x \sin \frac{1}{x}$ стремятся к 0 и, значит, делаются сколь угодно малыми, в то время как слагаемое $\cos \frac{1}{x}$ постоянно меняет знак, переходя от +1 к -1 и наоборот).

Причина такой непrivibличной ситуации в том, что в любой окрестности точки 0 имеется бесконечно много критических точек функций $f$ (см. рис. 1); проходя через них, производная $f'$ меняет знак.

Подобного «скопления» критических точек, конечно, не былает, если у функций $f$ конечное число критических точек или по крайней мере конечное число на любом отрезке $[a; b]$ (как, например, у функций $y = \sin x$). В этом случае на каждом интервале между соседними критическими точкими производная $f'$ сохраняет знак (это утверждение, верятоно, геометрическую очевидно, но доказать его не очень просто).

В случае «скопления» критических точек вектор неокторой точки $x_0$ исследоваать функцию на экстремум в этой точке по знаку производной нельзя.

Пример 2. Существуют также функции $f$ и $g$, дифференцируемые на $R$, что точка 0 является точкой максимума для одной из них и точкой минимума — для другой, но во всех точках неокторой окрестности точки 0 производные $f'(x)$ и $g'(x)$ имеют одинаковый знак.

Мы не будем приводить для нужных функций явных формул, а ограничимся их графиков (рис. 2); заметьте, что примеры функции не обязательно строить «на языке формул», их можно просто рисовать).

А как же поступить в таком случае? Никакого общего совета мы даны можно. Если у вас из тех или иных сообщений возникло предложение, что подобная точка $x_0$ является, скажем, точкой минимума функции $f$, можно попытаться «в любо» доказать неравенство $f(x) > f(x_0)$ для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$.

В примере 1 точка 0, вокруг которой «скопились» критические точки, тоже была критической. Однако это не обязательно.

Пример 3. В любой окрестности точки 0 имеется бесконечно много критических точек функций

$$f(x) = \begin{cases} x + x^2 \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$$

по точке 0 не является критической.

Проверьте, что

$$f'(x) = \begin{cases} 1 + \frac{2}{x} \sin \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ + 2x \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x = 0, \\ 1, & \text{ если } x = 0. \end{cases}$$

Так как в любой окрестности точки 0 производная $f'$ меняет знак (почему?), она в любой окрестности обращается в 0*); это — то же самое

*) Это в данной системе неложно доказать, воспользоваться теорем из п. 84 пособия «Алгебра и начала анализа 10».

Рис. 2

Рис. 3.