Решения задач М515; Ф527—Ф529

17

лα, образуемого стержнем с одной из сторон этого угла, ускорение сердных стержня (точки C), если конец B стержня движется с постоянной скоростью v?

Ф579. В схеме, показанной на рисунке 2, $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 20$ Ом, $R_3 = 15$ Ом, направление в сети переменного тока $U = 10$ В. Определить мощность, которая выделяется на резисторх с сопротивлениями $R_2$ и $R_3$.

Г. Комкин

Ф580. В схеме, показанной на рисунке 3, ЭДС батареи $\&$, ее внутреннее сопротивление $r$, сопротивление резистора $R$. При замыкании ключа $K_1$ стрелка галванометра $G$ отклоняется на угол $\alpha$. На какой угол отклоняется стрелка галванометра, если при замкнутом ключе $K_1$ замкнут ключ $K_2$? Отклонение стрелки пропорционально заряду, прошедшего через галванометр.

Ф581. Перед зеркалом стоит человек, закрыв один глаз. Изображение закрытого глаза в зерке он закрывает, наклевая на зеркою кусочек бумаги. Что увидит человек, если он открыет закрытый глаз и закрыет открытый?

Ф582. Тело плавает в воде так, что $2/3$ его объема погружены в воду. Какая часть объема тела будет находиться под водой, если сосуд с водой перемещать сускорением $a$ в верхIkальном направлении?

Решения задач
М515; Ф527—Ф529

В этой задаче мы изучаем такую операцию над произвольной фигурой (множеством точек) Ф:

$$W(\Phi) = \bigcup_{M \in \Phi} S_M(\Phi)$$

— рассматриваются симметричные образы фигуры Ф относительно различных точек $M \in \Phi$ и берется их обеединение (по всем точкам $M$). Очевидно, всегда $W(\Phi) \supset \Phi$ и

$$\text{ если } \Phi \subset \Phi', \text{ то } W(\Phi) \subset W(\Phi').$$

Выяснение поставленных в условия конкретих вопросов для последовательности вида

$$\Phi, W(\Phi), W^2(\Phi) = W(W(\Phi)), \dots, W^n(\Phi) = W(W^{n-1}(\Phi))$$,

полученных многократным применением операции $W$ к некоторым конечным множеством $\Phi$, мы включим в небольшие исследование, в ходе которого мы, по существу, научимся отыскивать выпуклую оболочку фигуры $W^n(\Phi)$ — наименшее выпуклое множество, содержащое $W^n(\Phi)$, — для произвольной фигуры $\Phi$, и отметим ряд любопытных свойства операции $W$.

18

6. Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площа 1. Найдем площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ ($n=1,2,\dots$).

В следующих трех пунктах $K_0$ — множество четырех вершин правильного метраэдра объема 1.

8. Расстояние наименьшего выпуклого многоугольника, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких границ у этого многоугольника?

e) Чему равен объем этого многоугольника?

d) Найдем объем наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ ($n=2,3,\dots$).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Прежде чем читать решение dalleше, нарисуйте фигуры $W(\Phi)$ и $W^2(\Phi)$, если $\Phi$ — пара точек; отрезок; прямоугольник; четыре вершины прямого/libника; три вершины треугольника. А каково $W(\Phi)$, если $\Phi$ — куб? восемь вершин куба?

Начнем с «одномерного» случая, когда фигура $\Phi$ лежит на прямой. Этот случай нужен для решения задачи a), но, как мы увидим, он пригодится и в более трудных задачах.

Пусть сначала наша фигура — это отрезок $\Pi=[AB]$ длины $d$ с серединой в точке $O$. Тогда $\Phi(\Pi)=[A_1B_1]$ — отрезок длины $3d$ с серединой в той же точке $O$. Отсюда сразу следует, что $\Phi^2(\Pi)=[A_2B_2]$, где $|A_2B_2|=9d$, и вообще $\Phi^n(\Pi)=[A_nB_n]$, где $|A_nB_n|=3^n d$, причем все отрезки $[A_nB_n]$ имеют середину в той же точке $O$ (рис. 1).

Будем в дальнейшем образить фигуры $\Phi$, имеющей центр симметрики $O$, при томотении с коэффициентом $k$ и центром $O$ обозначать через $k\Phi$. Мы выяснили, что если $\Pi$ — отрезок, то $W(\Pi)=3\Pi$ и вообще $W^n(\Pi)=3^n\Pi$.

Забегая вперед, заметим, что это верно для любой центрально-симметричной выпуклой фигуры $\Pi$. Но прежде законом с одномерным случае — ответим на вопрос a).

a) Пусть $K_0=\{A,B\}$, $|AB|=1$. Согласно (2), где $\Phi=\{A,B\}$, $\Pi=\Phi'=[AB]$,

$$K_n=\Phi^n(K_0)\subset\Phi^n(\Pi)=3^n\Pi.$$

При этом ясно, что $K_n$ содержит все точки отрезка $[A_nB_n]=3^n\Pi$, находящаяся на целочисленном расстоянии от точки $A$, причем крайные точки $\{A_n,B_n\}=3^n\{A,B\}$ находятся от $A$ на расстояниях $(3^n-1)/2$ и $(3^n+1)/2$ (рис. 2). Поскольку эти числа (рис. 3) больше 10 000 при $n\geqslant10$, ответ на вопрос a): $n=10$.

В решении плоских и пространственных задач про операцию $W$ очень полезно такое ее свойство: если $\Phi_l$ — проекция фигуры $F$ на прямую $l$, то

$$W(\Phi_l)=(W(\Phi))_l$$

(проекция $W(\Phi)$ на прямую $l$ совпадает с результатом применения $W$ к проекции $\Phi_l$) *. Это сразу следует из определения $W$ и того факта, что при проекции точки, симметричные относительно точки $M$, попадают в точки, симметричные относительно ее проекции $M_l$ (рис. 4).

Отсюда вытекает, что если $\Pi$ — полоса, а $3^n\Pi$ — ее образ при томотении с коэффициентом $3^n$ относительно центра симметрики (какой-либо точки на средней прямой), то выполено соответствие $\Pi$ — множество точек, заключенных между двумя плоскостями.

Из (2), (3), (5) и решения задачи a) следует также, что если мы заключаем фигуру $F$ в опорную полосу $\Pi$ какоголюбно направления — такую полосу $\Pi\supset\Phi$, края которой содержат все точки из $\Phi$, — то полоса $3^n\Pi\supset W^n(\Phi)$ будем опорной для $W^n(\Phi)$ (рис. 5). Это сообщение, обобщшее (4), позволяет найти выпуклую оболочку $W(\Phi)$ для любой фигуры $F$.

Разберем конкретные примеры.

6. Пусть $K_0=\{A,B,C\}$ — вершины правильного треугольника, $K_n=W^n(K_0)$, $n=1,2,\dots$(рис. 6). Докажем, что для любого $n\geqslant1$ выпуклая оболочка множества $K_n$ получается так: нужно взять концы отрезков $3^n[AB]$, $3^n[BC]$ и $3^n[AC]$ и построить выпуклый шестиугольник $\Sigma_n$ с вершинами в этих точках.

*) Проекцией пространственной фигуры $F$ на прямую $l$ называется множество точки $M\in l$ таких, что плоскость, проекция через точки $M$ и перпендикулярная к $l$, пересекается с $\Phi$.

21

Ф527. В схеме, показанной на рисунке 8, ЭДС батареи $G=100$ В, ее внутреннее сопротивление $r=100$ Ом, емкость конденсатора $C=200$ мкФ и сопротивление нарезавателя $R=10$ Ом. Ключ К переключаемся между конденсатами а и б с частотой $f=10$ раз в секунду. При подключении его к клемме а конденсор успешаем полностью зарядным, а при подключении к клемме б — полностью зарядным. Чему равен коэффициент полезного действия схемы? Во сколько раз он выше, чем при неопредседтном подключении нарезавателя к батарее? Какая мощность выделяется на сопротивлении $R$?

Рис. 8.

При подключении конденсатора к батарее он заряжается до напряжения $U=\mathcal{E}$, получая заряд $q=CU=\mathcal{C}\mathcal{E}$. Энергия конденсатора становится равной при этом $W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$.

Батарея же совершает работу $A=\mathcal{E}q=\mathcal{C}\mathcal{E}^2$. Следовательно, количество теплла $Q$, выделяющегося при этом в цепи, равно $A-W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$. Батарея соединена с нагреваемым последовательно, и в любой момент времени по ним течение один и тот же ток. Следовательно, теплло распределяется между ними пропорционально их сопротивлениям, то есть на нагреваете $R$ выделяется теплло

$$Q_1=(A-W)\frac{R}{R+r}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}.$$

При замклении конденсатора на нагреваете (ключи $K$ в положении $6$) конденсатор полностью заряжается и его энергия $W$ переходит в теплло, выделяющегося на нагреваете:

$$Q_2=W=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}.$$

Итак, за один полный цикл на нагреваете теплло

$$Q=Q_1+Q_2=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}+\frac{C\mathcal{E}^2}{2}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right).$$

КПД цепи равен

$$\eta_1=\frac{Q}{A}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{2R+r}{R+r}=\frac{2R+r}{2(R+r)}=\frac{6}{11}.$$

При неопредседтном подключении нагреваете к батарее КПД цепи равен

$$\eta_2=\frac{R}{R+r}=\frac{1}{11}.$$

Таким образом, $\eta_1/\eta_2=6$.

Найдем мощность $P$, выделяющегося на нагреваете. За 1 секунду произходит $n=f/2$ полных циклов переключения ключа $K$. Следовательно,

$$P=nQ=\frac{f}{2}\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right)\approx 5,5\text{ Вт.}$$

При.meчане. В условиях задачи предлагается считать, что конденсатор успешает полностью перезаряditся за время $t=1/f=0,1$ секунды. Проверим, насколько справавлено это предположение.

Когда конденсатор подключается к батарее, появляющийся ток равен $I=\mathcal{E}/(R+r)$. За время $t$, за которым конденсатор заряжается до напряжения $U=\mathcal{E}$, через батарею проходит полный заряд $q=C\mathcal{E}$. Следовательно, при токе $I=\mathcal{E}/(R+r)$ конденсатор заряжается за время $t=q/I=C\mathcal{E}/(R+r)/\mathcal{E}=C(R+r)=2,2\cdot 10^{-2}\text{ c}$. В действительности же по мере увеличения напряжения на конденсаторе ток будет уменьшаться, и конденсатор до напряжения $U=\mathcal{E}$ не заряжится никака. Однако, поскольку $t\gg t$, приближение можно считать, что конденсатор успешает полностью заряditся.

А. Зильберман

◆

Мощность $P$, выделяющаяся на лампочке, равна $U_\pi I$, где $U_\pi$ — напряжение на лампочке, $I$ — ток в цепи. Возможные соотношения между $U_\pi$ и $I$ определяются волтамперной характеристикой лампочки (рис. 9). С другой стороны, напряжение на лампочке определяется соответствующим

22

нику постояного направления $U=10B$ последовательно с резистором с сопротивлением $R=4\Omega$. Определить мощность лампочки.

Graph

Рис. 9.

Ф529. Использовая формула, сделанную для рекламного плака (рис. 10), определите: 1) фокусное расстояние объекта фомоапарата; 2) на каком расстоянии от ладоней рук располагался объектив при формулеировании; 0) размер рыбы, пояманной рыбаком; 4) диаметр объекта (предполагая, что размер демалей изобравеня на формуле не превысит 0,2 мм). Объектив формула рассматривается как монкую линзу.

Шением

$$U_{\pi}=U-U_R=U-IR,$$

где $U_R$ — напряжение на резисторе. Следовательно, при данном значении сопротивления $R$ $U_{\pi}$ и $I$ определяются точкой пересечения прямой $U-IR=10-4I$ (ее называют нагрузочной прямой) с волтамперной характеристикой лампочки. Проведяя на графике нагрузочного прямого, найдем значения $U_{\pi}$ и $I$, соответствующие точке $A$:

$$U_{\pi}\approx 5,5\ B, \ I\approx 1,2\ A.$$

Следовательно, мощность, выделяющаяся на лампочке, равна

$$P=U_{\pi}I\approx 6,6\ Bt.$$

И. Слободецкий

На фотографии сильно искажена перспектива. Различные детали объекта (лицо рыбака, ладони рук и т. д.) сформированы с различным увеличением.

Увеличением приято называть отношение размеров изображения и предмета, равное отношению расстояний от линии до плоскости изображения (то есть до фотопленки) и от предмета до линии. В нашем случае увеличение всех деталей меньше единицы. Заметная разница в увеличении лица и рук могла получить лишь при формулеировании с близкого расстояния.

Прием для оценок, что размер лица рыбака $l_1\approx 20$ см, ширина ладоней его рук $l_2\approx 10$ см, а расстояние от лица до ладоней вытянутых вперед рук $a\approx 50$ см. Обозначим расстояние от ладоней рук до объекта через $x$, а расстояние от объекта до фотопленки через $y$. На формуле размера лица $h_1\approx 1,5$ см, ширина ладоней $h_2\approx 1,5$ см. Увеличения $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ этих деталей выражаются относительно нашей

$$\Gamma_1=\frac{h_1}{l_1}=\frac{y}{x+a}, \ \Gamma_2=\frac{h_2}{l_2}=\frac{y}{x},$$

откуда

$$x=\frac{l_2}{h_2}\ y, \ y=\frac{ah_1h_2}{l_1h_2-l_2h_1}.$$

Из этих выражений после подстановки числовых значений

$$x\approx 50\ cm, \ y\approx 7,5\ cm.$$

23

Поскольку на фотографию расстояние между ладонями $h \approx 8$ см, мы можем заключить, что размер поляновой рыбаом рыбы

$$l = \frac{h}{\Gamma_2} = \frac{h l_2}{h_2} \approx 53 \text{ см.}$$

Для определения формулосяного расстояния $F$ объекта и его диаметра $D$ необходимо принять во внимание, что формулаемый объект в нашем случае имеет значительный размер вдоль оптической оси (глубину). Ближняя точка (ладон) находится на расстоянии около 50 см от объекта, а дальней точка (лицо) — на расстоянии около 100 см. Ясно, что объектив не может дать одновременного четке изображения обеих этих точек (и всех промежуточных) на фотопленке, которая расположена на расстоянии $y \approx 7,5$ см за объективом. Ход лучей от дальней (А) и ближайней (B) точки объекта появляется лишь неокоторая промежуточная точка $C$, лежащая где-то между ближайней и дальней точками. Четкие изображения точки $A$ и $B$ лежат соответственно перед и за фотопленкой, а на пленке их изображения получаются в виде пятен размером $\Delta$, не превышшим по условию задачи 0,2 мм. Прияв для оценок, что точка формусировки $C$ расположена на расстоянии $x + a/2 \approx 75$ см перед объективом, запишем, используя формулу линейы,

$$\frac{1}{x + a/2} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$

Отсюда после подстановки числовых значений находится $F \approx 6,8$ см. Как видно из рисунка 11, для того чтобы при значительной глубине объекта резкость изображения всех деталей была достаточно высокой, объектив фотоаппарата должен быть сильно заднафрагмрован, то есть диаметр $D$ открытой части объекта должен быть достаточно мал. Определя по формуле линейы положение изображения $B_1$ близней точки $B$ —

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F}$$

— и составляя оценную пропорцию

$$\frac{D}{d_1} = \frac{\Delta}{d_1 - y},$$

найдем после подстановки числовых значений: $d_1 \approx 7,9$ см; $D \approx 4$ мм. (Разумеется, для оценки диаметра объекта можно было бы использовать положение изображения дальней точки $A$.)

Итак, проведенные нами оценки дают:

1. формуле расстояние объекта фотоаппарата $F \approx 6,8$ см; 2) при формулерования объекта располагался на расстоянии $x \approx 50$ см от ладоней; 3) рыбку удалось попытать рыбу размером около 53 см; 4) объектив фотоаппарата был заднафрагмрован до 4 мм.

С. Козел