Новые книги

56

Новые книги

В этом номере мы публикуем аннотации на доступные школьникам книги по математике и физике, выведенные во 11 квартале 1979 года.

Математика
Издательство «Нуука»

1. Игнатьев В. И.
   В царстве смекалки. Издание 3-е,стереоппное. Объем 10 л., тираж 300 000 экз., цена 40 к.
   Подробную резценцию на эту книгу по заимателовой математике см. в «Кванте», 1978, № 11, с. 54.
2. Марку щев в чА. И. Ряды. Издание 4-е. Объем 10 л., тираж 40 000 экз., цена 10 к.
   Цель книги — в доступной и свободной форме познакомить старшеклассников с отделом математики, который Коши называл алгебраическим анализом. Речь идет о понятии ряда, об основных свойствах рядов (в частности, об их сходимости), а также об изобравении элементарных функций рядами (без помощи формулы Тейлора).
   В книге обязывается, как составляются таблицы тригонометрических и логарифмических функций, показывает, что значения этих функций можно получить, производ над аргументом один лишь алгебратические действия. Правда, число этих действия не ограничено и, чем больше их производить, тем более значения функций будут получаться. В книге расссказывает также о том, как ряды позволяют находить приближенные выражения тригонометрических и логарифмических функций в виде многочленов, причем ошибка при замене функций многочленом может быть сделана сколь угодно малой.
   В книге содержится много интересных и почучительных сведений из истории математики. Все изложение построено в виде связываногоповестования, главным геометром является биоминальный ряд. Читателью, не боящему выкладок, предоставляется возможность проследовать путими, которые шли Ньюотон, Эйлер, Лагранж, Коши, много сделавшие для того, чтобы приучить математиков обращаться с рядом так же свободно и легко, как с многочленами. В то же время читатель обязывается, что ряды — это не многочлены и что осмысленное их употребление основывается на теории пределов.
3. Марку щев в чА. И. Плющади и лодарфмы. Издание 2-е. Объем 3 л., тираж 100 000 экз., цена 10 к.
   В книге излагается геометрическая теория логарифмов — логарифмы появляются в ней как неокторые площади. Все свойства логарифмов, а также способы их вычисления выводятся из свободств площей. Попутно автор знакомит читатель с проследими понятями и свойствами интегрального численения, не используя поняття произvodной.
   От читателя требуется лишь первоначальное знакомство с простейшими функциями и их графиками, с геометрической прогрессей и понятем предела.
4. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. Объем 8 л., тираж 100 000 экз., цена 30 к.
   В книге в популярий форме расссказывается о прикладной математике, о применении ЭВМ к решению прикладных задач. Основное внимание уделяется тем вопросам: построению математических моделей изучаемых объектов, разработке численных алгоритмов для их исследований и проблемы оптимизации.
   Книга предназначена для читателей, которые захотят познакомиться с идеями и методами современной прикладной математики.
5. Успенский В. А. Треуолевник Паскаля. Издание 2-е, дополнительное. Объем 2 л., тираж 100 000 экз., цена 10 к.
   Треуолевник Паскаля («Алгебра и начала анализ 9», п. 7) — это не геометрический треугольник с треями углами и треями сторонами. Треуолевником Паскаля называют бесконечную числовую таблицу «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоит единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух чисел, стоящих над ним. (В такой форме треугольник Паскаля по соинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 году.) В книге расссказывается про треугольные и примидальные числа, которые вызывали интерес еще в Древней Греции, где им приписьвали мистецкие свойства. Выводится формула Ньюотона и формула для числа $C_n^k$. Показывает применение треугольника Паскаля при решении задач комбинаторного харазтера.
   Изложение не предполагает каких-либо предварительных знаний, выходящих за рамки программы восемиллетей шкoles.
6. Пидоу Д. Геометрия и искусство. Перевод с англ. Объем 16 л., тираж 50 000 экз., цена 96 к.
   Даниэл Пидоу — известный американский математик, специалист по алгебраической геометрии. В оригинале его книга называется «Геометрия и свободные искусства». В средние века геометрия изучалась на основе и искусством и архитектурой. В книге как раз и идет речь о том, какие пересечения существуют между геометрией и живописью, геометрией и архитектурой, обсуждается, что

58

«Теория вероятностей» без теории

1. Надежность первого схемы:
   $$p_1 = 0,7 \times 0,8 \times 0,9 = 0,504$$
   надежность второй схемы:
   $$p_2 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,512$$
   надежность второй схемы больше.

2. Игре «испорченый телефон» соответствует схеме из последовательно соединенных элементов, надежность которого получается переменной надежности составляющих элементов.

3. Если надежность мотора $p$, то надежности двух- и четырехмоторных самолетов соответственно
   $$p_2 = 1 - (1 - p)^2, p_4 = 1 - (1 - p)^4.$$

4. Путь от входа к кладу содержит четыре развилки, три из которых имеют 2 продолжения, одна — 3. Поскольку лишь один из возможных путей ведет к кладу, а остальные к яме, то вероятность найти клад: $1/2 \times 1/2 \times 1/2 \times 1/3 = 1/24$, а вероятность погибнуть: $1 - 1/24 = 23/24$.

5. Из аналогичных сообщений вероятность найти клад, не петляя 1/8. Вероятность найти клад, сделав одну петлю, $1/8 \times 1/8$ и т. д.

Итак, вероятность когда-нибудь найти клад равна
$$p = 1/8 + 1/8 \times 1/8 + 1/8 \times 1/8 + \dots = 1/7$$
по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Глаз на вступительных экзаменах

1. $d_1' = 8,3$ см; $d_2' = 25$ см.

2. $d_{\max} = 12$ см.

3. $F = 60$ см.

4. $D = 2$ дитр.

Нестандарные задачи по теореметрии

1. $3\sqrt{\frac{5}{2}}$. Рассмотреть развертку пирамиды.

2. $\sqrt{3}$ tg $40^\circ$. Выразить расстояния между серединами противоположных ребер пирамиды через длина ребер.

3. 68/3. См. решение задачи 3.

4. $2\sqrt{3}$. См. решение задачи 5.

5. $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$. Показать, что условиями задачи пирамида определяется однозначно.

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1978 году

Московский институт стали и сплавов Математика

Технологический факультет

1. $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in Z, x \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right]$.

2. $\frac{8}{3}$.

3. 1. 4. $\cos \left( \overrightarrow{BC_1}, \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}}, S = a^2 (1 + 3\sin^2 \alpha)$.

4. Длины сторона равны $\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.

Факультет металлургии черных металлов и сплавов

1. $x_1 = 0, x_2 = \frac{4}{3}$. $x \in [0; 1]$.

1] $U[4; 16]$.

3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = \sqrt{1 + 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.

4. $-24$. $5. \frac{\pi}{3}$.

Факультет металлургии цветных и редких металлов и сплавов

1. $x \in [-1; 4]$. $x_1 = k\pi, x_2 = -\sqrt{1 + 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.

2. $1/2 \ln 2$. 5. Длины вектора равны $\sqrt[6]{200}; 2\sqrt[6]{200}; 3\sqrt[6]{200}$.

Физiko-химический факультет

1. $x \in [-7; -\sqrt{35}] \cup [5; \sqrt{35}]$.

2. $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + n\pi, n \in Z$. 3. Найбольшее значение $y(6) = 132$, наименьшее:
   $y(3) = -57$. 4. $B \left( -\frac{17 + 2\sqrt{307}}{27}; \frac{71 + 2\sqrt{307}}{27}; \frac{59 - \sqrt{307}}{27} \right); C \left( \frac{1}{3}; \frac{5}{3}; \frac{8}{3} \right)$ или $B \left( -\frac{17 + 2\sqrt{307}}{27}; \frac{59 + \sqrt{307}}{27} \right); C(-1; 3; 2)$.

59

Московский институт электриной техники
Вариант 1

1. $x_1 = \pi + 2\pi k, x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

2. $\{10\}$. 3. 9. 4. 2a. 5. 0.

Вариант 2

1. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$. 2. $\{10, 10^5\}$.

2. $\frac{8}{9}$. 4. 1. 5. $\vec{c}_1 = (1; 0; 1), \vec{c}_2 =$
   $\quad = \left(-\frac{1}{3}; \frac{4}{3}; -\frac{1}{3}\right)$.

Физика

1. Натяжение нити будет больше во втором слуае.
2. См. рис. 1 ($\alpha_0 - \gamma \theta$, при котором груз начнет скольнить по плоскости).

Рис. 1.

3. $T = \sqrt{6\pi / (\gamma \rho)} \approx 160$ мин.

4. $n = \frac{4}{\lg (1 + V / V_0)}$.

5. В системе единиц СГСЭ $r =$
   $\quad = \frac{4e^2}{m |\vec{v}|^2} \approx 2,5 \cdot 10^{-8}$ см.

6. $\varphi' = \varphi \frac{R_1}{R_2}$.

7. $q = \frac{pVFz\mu}{3ART} \approx 5 \cdot 10^3$ Кл (здесь $F =$
   $\quad = 96500$ Кл/моль — число Фарадея, $z = 2$ —
   валентность водорода, $\mu = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль —
   молярная масса водорода, $A = 10^{-3}$ кг/моль —
   его atomная масса).

8. $t / T = lv / c = 5 \cdot 10^{-2}$.

9. $H = nh = 2,66$ м.

10. $D = \frac{1}{d_0} - \frac{1}{d} = -2,25$ дитр (здесь
    $d_0 = 25$ см — расстояние налучшего зрения
    для нормального глаза).

Московский авнационный институт
им. Серго Орджоникидзе

Matematika

Вариант 1

2. $\{5\}$. 3. Возрастает на $] - \infty$; 1] и
   на $[2; + \infty$ [, убывает на $[1; 2]$, при $x = 1$
   имеет максимум, при $x = 2$ — минимум.

3. $[0; 2 - \sqrt{2} [U] 2 + \sqrt{2} ; 6]$. 5. $] - \frac{3}{2}$;

$1 - \sqrt{3} [U] 1 + \sqrt{3}; + \infty$ [. Указание.
Требуемые условия выполняются тогда и
только тогда, когда $(x_1 + x_2) - x_1x_2 > 0$ и
$f(1) > 0$.

Вариант 2

2. $\vec{c} = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}; -\frac{1}{\sqrt{3}}; -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

3. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi l,$

$x_3 = 2\pi m (k, l, m \in \mathbb{Z})$. 4. $h = \sqrt[4]{3} \text{ dm}, P =$
$= \frac{8}{\sqrt[4]{3}} \text{ dm}.$ 5. $\frac{h^3 \sqrt{\cos(\beta + \varphi)} \cdot \cos(\beta - \varphi)}{sin 2\beta \cdot sin \varphi \cdot cos \beta}$.

Вариант 3

1. $] - \infty; -4 [U] \frac{7}{2}; + \infty$ [. 2. $\{\frac{\pi}{3},$
   $\frac{2}{3} \pi\}$.

2. $\left(\frac{3}{2}; \frac{13}{4}\right)$.

3. $\frac{\sqrt{51}}{3}$. Указание.
   См. § 22 «Геометрии 9».

4. $M \cap N \neq \emptyset$ при $a \in ] - \infty; 0 [U] 1;$
   $+ \infty$ [. При $a < 0$

$M \cap N = ] \frac{1}{1 - a}; -\frac{3a^2}{a - 3} + 1$.

Физика

Вариант 1

2. $v_{cp} = 2v_M / \pi \approx 6,4$ м/с.

3. $I_M = \mathcal{E}_M / R$

4. $p = \frac{2p_1p_2}{p_1 + p_2}$.

5. $F = f / 3 = 8$ см.

Вариант 2

2. $\left|\vec{F}_{t_1}\right| = 6m\alpha t_1; W_{t_2} = m (3\alpha t_1^2 +$
   $\beta)/2$.

3. $q = 3eN_0 m / \mu \approx 10^7$ Кл $t = q / I \approx$
   $10^7$ с.

4. $A = p_1(V_2 - V_1) + \alpha_1(V_2^2 - V_1^2)/2 +$
   $\alpha_2(V_2^3 - V_1^3)/3$.

60

Рис. 2.

5. $f = \frac{Rd}{2d - R} = 15$ см (см. рис. 2);
   $\Gamma = \frac{f}{d} = 5$.

Московский энергетический институт

Математика
Вариант 1

1. $-\frac{1}{8}$.
2. $\left\{ \left( \sqrt[4]{3}; 1 \right), \left( \sqrt[4]{3}; -1 \right) \right\}$.
3. $\sqrt{3} - 1$.
4. $\left\{ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2} \pi \right\}$.
5. Если основание равноведренного треугольника, полученного в сечении, лежит на плоскости $ABCD$, то $S = \frac{a^2 \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$; если оно лежит на плоскости $CDD_1C_1$ (или на плоскости $BCC_1B_1$), то $S = \frac{a^2}{2\sqrt{1-\cos 2\alpha}}$.

Вариант 2

1. $-\frac{8x}{(x^2-4)^2}$.
2. $] 100; +\infty$.
3. $\frac{1}{4}$.
4. $\left\{ -\pi, -\frac{5}{6} \pi, -\frac{2}{3} \pi, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right\}$.
5. $\frac{\pi}{24h} (16S^2 + h^4 \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 6Sh^2 \times \text{ctg} \alpha)$.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1
2. $n = 2/3 \approx 0,67$.
3. $A = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) = 8,1 \cdot 10^{-10}$ Дж.
4. $|\vec{v}_1| = \sqrt{\frac{2W}{3m}} = 25,8$ м/с; $|\vec{v}_2| = 3|\vec{v}_1| = 77,4$ м/с.
5. $T_0 = T + \frac{A\mu}{mR} \approx 254$ К; $V_0 = \frac{mRT_0}{\mu(p_0 + Mg/S)} \approx 0,024$ м$^3$.

Задание устного экзамена

1. $|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}|}{m} \left( \cos \alpha_2 - \cos \alpha_1 \times \frac{mg - |\vec{F}| \sin \alpha_2}{mg - |\vec{F}| \sin \alpha_1} \right) \approx 0,78$ м/c$^2$.
2. $l_{O_2} = l/17 \approx 0,06$ м; $l_{H_2} = 16l/17 \approx 0,94$ м.
3. $m = \frac{qQ}{\varepsilon_0 Sg} \approx 0,0115$ кг = 11,5 г.
4. $U = \sqrt{PR/\eta} = 12500$ В = 12,5 кВ.
5. $\varepsilon = \frac{\lambda^2 d}{4\pi^2 c^2 \varepsilon_0 LS} \approx 6$.

Московский авнационный технологический институт им. К. Э. Циолковского

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
2. $\left\{ -\frac{9}{2}, 3 \right\}$.
3. $\frac{1}{3} \pi a^3 \cdot \frac{\sin^2 \beta \cdot \sin^2 \gamma}{\sin^2 (\beta + \gamma)}$.
4. $x_1 = \frac{\pi}{2} k, x_2 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
5. Радиус основания равен $R \sqrt{2}$, высота - 4R.
Вариант 2
2. $\{9\}$.
3. $\frac{S}{2} \left( \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \beta} \right)$. Указание. См. § 50 «Геометрии 10».
4. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
5. Нигде (функция $f$ убивает на R).
Устный экзамен
Билет 1
2. $\emptyset$.
3. На [-1; 0 [и на] 0; 1].
4. $] - \infty; \log_2 \frac{5 - \sqrt{21}}{2} [U] \log_2 \frac{5 + \sqrt{21}}{2}; + \infty$.
Билет 2
2. $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
4. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Физика

1. $h_{\max} = \frac{|\vec{v}_0|^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 15$ м; $s_{\max} = \frac{|\vec{v}_0|^2 \sin 2\alpha}{g} \approx 35$ м.

63

Физический факультет

1. $\Delta h = h \frac{\Delta T}{T} \approx 0,05$ м; $A = p \Delta h S \approx 150$ Дж.
2. $s = \frac{m |\vec{v}|^2}{2q |\vec{E}|} \approx 2,1 \cdot 10^3$ м.
3. $R = \frac{\sqrt{2mW}}{e |\vec{B}|} \approx 5,8 \cdot 10^{-2}$ м.
4. $\varphi = \arcsin (n \sin \alpha) - \alpha \approx 22^\circ$; луч не выйдет из стекла в воздухх при углах падения $\alpha \geqslant \arcsin (1/n) \approx 40^\circ$.
5. $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2}{m} \left( \frac{hc}{\lambda} - A \right)} \approx 4,5 \cdot 10^5$ м/с.

Казанский авнационный институт им. А. Н. Туполева

Математика

Вариант 1

1. $\frac{\sqrt{2}}{6} a^3 \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sqrt{-\cos \alpha}}$. 2. $\{1 - \sqrt{33}, 2\}$.
2. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = \pm \frac{2}{3} \pi + 2\pi l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
3. $x = -2$ точка максимума, $x = 2$ точка минимума.
4. $\sqrt{18}$.

Вариант 2

1. $\frac{\sqrt{2}}{6} S \sqrt{S} \cdot \sqrt{tg \alpha \cdot tg \beta}$. 2. $] 2; 3 [U] 4; + \infty$.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
3. $(1; -3)$.
4. $\frac{1}{3} + \ln 2$.

Физика

1. $h = \frac{|\vec{v}_0|^2}{4g} = 6,5$ м.

2. $l = \frac{m g t^2}{2M + m} = 0,8$ м.

3. $\theta = \frac{t_1 (c_1 m_1 + c_2 m_2) + c_3 m_3 t_2}{c_1 m_1 + c_2 m_2 + c_3 m_3} \approx 20^\circ$ С.

4. $v = \frac{p V}{RT} = 0,4$ моля.

5. $|\vec{E}| = \frac{|q| (2 \sqrt{2} - 1)}{8 \pi e_0 a^2} \approx 3,3 \cdot 10^2$ В/м.

6. $\alpha = \arctg \frac{e |\vec{E}| l}{m |\vec{v}_0|^2} \approx 41^\circ; |\vec{v}| = \frac{|\vec{v}_0|}{\cos \alpha} \approx 1,33 \cdot 10^7$ м/с.

7. a) $P_1 = \frac{U^2}{R_1} = 242$ Вт, $P_2 = \frac{U^2}{R_2} = 484$ Вт; 6) $P_1 = \frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} \approx 107,6$ Вт, $P_2 = \frac{U^2 R_2}{(R_1 + R_2)^2} \approx 53,8$ Вт.

8. $\mathcal{E} = |\vec{B}| l |\vec{v}| = 108$ В.

9. $x = h$ ($tg \alpha - tg \beta) = 14$ см (здесь $\beta = \arcsin (\sin \alpha/n)$).

10. Предмет совмещается со своим изображением в центре кривизны зеркала.

Томский институт автоматизированных систем управления и радиоэлектроники

Математика

Вариант 1

1. $x = -1$ точка максимума, $x = 3$ точка минимума.
2. $x_1 = \frac{\pi}{5} k, x_2 = \frac{\pi}{2} l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
3. $] - \infty; 2 \frac{1}{3} [U] 3; + \infty$.
4. $6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{V^2} \cdot \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}$.
   Вариант 2
5. $36 = 6 \cdot 6$. 2. $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$.
6. $\left\{ \frac{1}{10^4}, 10 \right\}$.
7. $\frac{\pi a^3}{6} \cdot \sin^3 \alpha \cdot tg^3 \frac{\varphi}{2}$.

Физика

1. $h = \frac{gs^2}{2 |\vec{v}|^2} \approx 2,2$ м.
2. $|\vec{F}_1| = m \left( |\vec{v}|^2 / R - g \right) \approx 2800$ Н; $|\vec{F}_2| = m \left( |\vec{v}|^2 / R + g \right) \approx 4200$ Н.
3. $m = \rho_B Sh = 3,24 \cdot 10^6$ кг = 3240 т (здесь $\rho_B = 10^3$ кг/м$^3$ – плотность воды).
4. $h = \frac{\Delta p}{\rho g} \approx 10,4$ м.
5. $I_1 = \frac{2\& I}{Ir + \&} \approx 0,86$ А.

64

6. $R_{\text{ш}} = \frac{R_A I}{I_1 - I} = 5 \text{ мОм}$.

7. $\lambda = 2\pi c \sqrt{LC} = 5652 \text{ м}$ (здесть $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/c}$ — скорость света в вакууме).

8. $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2hc(\lambda_{\text{кр}} - \lambda)}{m\lambda_{\text{кр}}}} \approx 9,6 \cdot 10^8 \text{ м/c}$.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 5)

1. Две нижение спички от последней елки нужно переложить к первой — см. рисунок 3.

2. Поскольку даже $5 \cdot 31 \cdot 12 < 1900$, день недели — шестой или седьмой. Предположив, что день недели — шестой, получим
   $6 \cdot 29 \cdot 11 = 1914, 6 \cdot 30 \cdot 11 = 1980,$
   $6 \cdot 27 \cdot 12 = 1944, 6 \cdot 28 \cdot 12 = 2016,$
   что невозможно. Если же день недели — седьмой, то из равенств
   $7 \cdot 27 \cdot 10 = 1890, 7 \cdot 28 \cdot 10 = 1960,$
   $7 \cdot 25 \cdot 11 = 1925, 7 \cdot 26 \cdot 11 = 2002,$
   $7 \cdot 23 \cdot 12 = 1932, 7 \cdot 24 \cdot 12 = 2016$

находим: $7 \cdot 28 \cdot 10 = 1960$. Таким образом, Вадим и Коля играли в шахматы в воскресенье; Надя родилась 28 октября 1960 года.

3. Задчача имеет одно решение: 144.

4. Сложив числа 3, 17 и 18, стоящие в одном ряду, получаем сумму 38. Тогда между числами 3 и 16 должно стоять 19, между 16 и 10 — число 12 и т. д., пока не получим заполнение, изобранное на рисунке 4. Найдем числа $a, b$ и $c$, указывающие на этом рисунке. Так как $10 + a + b + 1 + 18 = 38$, получаем $a + b = 9$, а из того,

Рис. 3.

Рис. 4.

Задачи наших читателей
(см. с. 8, 15)

2. Указание a) $S_{AMC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{2} |AM| |CM| \sin AMC$;

6. воспользуйтесь теоремой синусов.

1. Указание. Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 5, то $a^4$ и $b^4$ дают при делении на 5 в остатке I.

2. Указание. Исследуйте делимость данных чисел на 3.

3. a) $\overline{abc} = 144$; b) $\overline{abc} = 118$; c) $\overline{abc} = 145$.

4. $10^n + 1 = 1$.

Номер этому:n
А. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович

Номер оформили:
М. Дубах, Э. Назаров, И. Смирнова,
В. Чернов

Зав. редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректор Н. Румянцева

113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 31/III—79
Подписано в печать 14/V—79
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 7,16 Т-08984
Цена 30 коп. Заказ 708
Тираж 287 425 экз.

Чеховский полигraphический комбинат
Союзполигraphпрома
Государственное комитета
СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли,
г. Чехов Московской области

Руководис не возвращаются