Московский энергетический институт

45

Московский энергетический институт

О факультетах и специальности Московского ордена Ленина энергетического института (МЭИ) рассказано в «Кванте», 1978, № 7.

В 1978 году абитуренты, поступавшие в МЭИ, сдавали по математике два экзамена (письменный и устный — на всех факультетах), а по физике — один экзамен (на одних факультетах — письменный, на других — устный).

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Упростив выражение
   $$\left( \frac{(x^2-4)^{-2}+(x+2)^{-2}-(x-2)^{-2}}{1-8x} \right)^{-1} - \left( 4 \sqrt[3]{4} \right)^{10} x^3 - 16,$$
   найти его предел при $x \to \frac{1}{8}$.

2. Решить систему уравнения
   $$\begin{cases} (3y^2+1) \cdot \log_3 x = 1, \\ x^2y^3+10 = 27. \end{cases}$$

3. Сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна набольшем значению $f(x)=3x^3-x-76$ на отрезке [0; 3]; первый член прогрессии равен квадрату ее значенателя. Найти значенатель прогрессии.

4. Найти все значения $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\sin^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \left( \frac{x}{2} + \frac{7}{2} \pi \right) = \sin \frac{5}{6} \pi$$
   и лежащие на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.

5. Через вершину $C_1$ куба $ABCD_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, пересекающая ребра $[BC]$ и $[CD]$ и образующая с гранью $ABCD$ угол $\alpha$, причем в сечении получен равноведенный треугольник. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна $a$ (расстоять возможные случан).

Вариант 2

1. Упростив выражение для $f(x)$, найти $f'(x)$, если
   $$f(x) = \left( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}} + \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}-x+2} \right)^{-2} \times \left( \frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)} + 1 \right) \times \frac{2}{\sqrt{x}+1}.$$

2. Найти область определения функции
   $$f(x) = \lg \left( \sqrt{8-2+\lg x} - \sqrt[3]{4^2-\lg x} \right).$$

3. При каком уменшаемом разность будет наибольшей, если вычитаемое равно удвоенному квадрату уменшаемого?

4. Найти все значения $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$(1-\cos 2x) \sin 2x = \sqrt{3} \sin^2 x$$
   и лежащие на отрезке $\left[ -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$.

5. Площадь прямоугольной трапеции $ABCD$ равна $S$, длина высоты $AB$ равна $h$, величины остроого угла $ADC$ трапеции равна $\alpha$. На боковой стороне $[CD]$ взята точка $E$, так что $|CE|=|ED|$. Найти объем тела, полученного врашением четырехугольника $ABED$ вокруг прямой $(AB)$.

Физика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Источники тока. Электродвижущая сила. Последовательное соединение источников ЭДС. Аккумуляторы. Закон Ома для замкнутой цепи.

2. Энергия фотонов, которые облучаются металл, в три раза больше выборы выхода электронов из металла. Какую долю от энергии фотонов составляют максимальная кинетическая энергия фотонов, вылетающих из металла?

3. Два одинаковых точных заряда на расстоянии $r_1=1$ м друг от друга. Величина каждого заряда $q=10^{-10}$ Кл. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния $r_2=10$ см?

4. При разрыве неподвижной границы на два оскола, летящих вдоль одной прямой, выделилась механическая энергия $W=1000$ Дж. Известно, что масса одного оскола второе больше массы другого. Найти скорости осколов. Масса границы $m=1$ кг, а масса пороховых газов мала.

5. Каковы первооначальный объем и температура геля, находящаяся под поршнем в цилиндре, если при охлаждении геля до $t=-23^\circ C$ груз массой $M=16$ кг, лежащий на поршне, совершает работу $A=40$ Дж? Площадь поршня $S=200$ см², атмосферное давление нормальное, масса геля $m=5$ г.

Задачи устного экзамена

1. Тело массой $m=20$ кг тянут с силой $|F|=120$ Н по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом $\alpha_1=60^\circ$ к горизонту, тело движется равномерно. С каким ускорением будет движется тело, если ту же сил приложить под углом $\alpha_2=30^\circ$ к горизонту?

2. Цилиндрический сосуд длиной $l=1$ м делится на две части подвижным поршнем. Каков будет равновесное положение поршня, если в одной части сосуда находится некоторая масса кислорода, а в другой части — такая же масса водорода